Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính $\frac{R}{2}$ rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3 b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính $\frac{R}{4}$ rồi chồng lên các hình trước như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn.

2. Phương pháp giải

Đưa tổng diện tích của các hình tròn về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn rồi áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q: S=u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots=\frac{u_1}{1-q}$

3. Lời giải chi tiết

Giả sử các hình tròn bán kính $R_1=R, R_2=\frac{R}{2}, R_3=\frac{R}{4}=\frac{R}{2^2}, \ldots, R_n=\frac{R}{2^{n-1}}, \ldots$ có diện tích lần lượt là $u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$ Ta có:
$
\begin{aligned}
& u_1=\pi R_1^2=\pi R^2, u_2=\pi R_2^2=\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2=\pi R^2 \cdot \frac{1}{2^2}, u_3=\pi R_3^2=\pi\left(\frac{R}{2^2}\right)^2=\pi R^2 \cdot \frac{1}{2^4}, \ldots, \\
& u_n=\pi R_n^2=\pi\left(\frac{R}{2^{n-1}}\right)^2=\pi R^2 \cdot \frac{1}{2^{2 n-2}}, \ldots \\
& S=u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots=\pi R^2+2 \pi R^2 \cdot \frac{1}{2^2}+4 . \pi R^2 \cdot \frac{1}{2^4}+\ldots+2^{n+1} \pi R^2 \cdot \frac{1}{2^{2 n-2}}+\ldots \\
& =\pi R^2+\pi R^2 \cdot \frac{1}{2}+\pi R^2 \cdot \frac{1}{2^2}+\ldots+\pi R^2 \cdot \frac{1}{2^{n-1}}+\ldots \\
& =\pi R^2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}+\ldots\right)
\end{aligned}
$
Xét tổng: $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}+\ldots$
Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=\frac{1}{2}$ nên: $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}+\ldots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$
Vậy $S=\pi R^2 . S_n=2 \pi R^2$.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 3. Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương III

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024