Trả lời câu hỏi 2 - Mục Vận dụng trang 108

1. Nội dung câu hỏi

Tính thời gian $t_1, t_2, \ldots, t_n, \ldots$ tương ứng để Achilles đi từ $A_1$ đến $A_2$, từ $A_2$ đến $A_3, \ldots$ từ $A_n$ đến $A_{n+1}, \ldots$

2. Phương pháp giải

Tính lần lượt các thời gian  $t_1, t_2, \ldots, t_n, \ldots$.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

Để chạy hết quãng đường từ $A_1$ đến $A_2$ với $A_1 A_2=a=100(\mathrm{~km})$, Achilles phải mất thời gian $t_1=\frac{100}{100}=1(h)$. 

Với thời gian $t_1$ này, rùa đã chạy được quãng đường $A_2 A_3=1(\mathrm{~km})$.

Để chạy hết quãng đường từ $A_2$ đến $A_3$ với $A_2 A_3=1(\mathrm{~km})$, Achilles phải mất thời gian $t_2=\frac{1}{100}(h)$. 

Với thời gian t này, rùa đã chạy được quãng đường $\mathrm{A}_3 \mathrm{~A}_4=\frac{1}{100}(\mathrm{~km})$.

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ $A_n$ đến $A_{n+1}$ với $A_n A_{n+1}=\frac{1}{100^{n-2}}(\mathrm{~km})$, Achilles phải mất thời gian $t_n=\frac{1}{100^{n-1}}(\mathrm{~h}) \ldots$

1. Nội dung câu hỏi

Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường $A_1 A_2, A_2 A_3, \ldots, A_n A_n+1, \ldots$, tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.

2. Phương pháp giải

Để tính tổng thời gian chạy hết quãng đường, ta sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

3. Lời giải chi tiết

Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường $A_1 A_2, A_2 A_3, \ldots, A_n A_n+1, \ldots$, tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là
$
T=1+\frac{1}{100}+\frac{1}{100^2}+\ldots+\frac{1}{100^{n-1}}+\frac{1}{100^n}+\ldots \text { (h). }
$
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $\mathrm{u}_1=1$, công bội , nên ta có
$
T=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{100}{99}=1 \frac{1}{99}(\mathrm{~h}) \text {. }
$
Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau $1 \frac{1}{99}$ giờ.

1. Nội dung câu hỏi

Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

2. Phương pháp giải

Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn.

3. Lời giải chi tiết

Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.