Trả lời câu hỏi 6 - Mục Luyện tập vận dụng trang 63

1. Nội dung câu hỏi

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng. trong trường hợp sau: Giả sử tốc độ chạy của Achilles là 100km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát rùa ở điểm A₁ cách Achilles 100km.

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S=\frac{u_1}{1-q}$.

3. Lời giải chi tiết

Ta tính thời gian $A$-sin đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian $A$-sin chạy hết các quãng đường $O A_1, A_1 A_2, A_2 A_3, \ldots, A_{n-1} A_n, \ldots$ Nếu tổng này vô hạn thì $A$-sin không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà $A$-sin đuổi kịp rùa.
Để chạy hết quãng đường $\mathrm{OA}_1=100(\mathrm{~km}), \mathrm{A}$-sin phải mất thời gian $\mathrm{t}_1=\frac{100}{100}=1(\mathrm{~h})$.
Với thời gian $\mathrm{t}_1$ này, rùa đã chạy được quãng đường $\mathrm{A}_1 \mathrm{~A}_2=1(\mathrm{~km})$.
Để chạy hết quãng đường $\mathrm{A}_1 \mathrm{~A}_2=1(\mathrm{~km}), \mathrm{A}$-sin phải mất thời gian $\mathrm{t}_2=\frac{1}{100}(\mathrm{~h})$.
Với thời gian $\mathrm{t}_2$ rùa đã chạy thêm được quãng đường $\mathrm{A}_2 \mathrm{~A}_3=\frac{1}{100}(\mathrm{~km})$.
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường $A_{n-1} A_n=\frac{1}{100^{n-2}}(\mathrm{~km})$, A-sin phải mất thời gian $t_n=\frac{1}{100^{n-1}}(h)$.
Vậy tổng thời gian $A$-sin chạy hết các quãng đường $O A_1, A_1 A_2, A_2 A_3, \ldots, A_{n-1} A_n, \ldots$ là:
$T=1+\frac{1}{100}+\frac{1}{100^2}+\frac{1}{100^3}+\ldots+\frac{1}{100^n}+\ldots(h)$
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $\mathrm{u}_1=1$, công bội $\mathrm{q}=\frac{1}{100}$, nên ta có:
$
T=\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{100}{99}(h)
$
Như vậy, A-sin đuổi kịp rùa sau $\frac{100}{99}$ giờ.
Vậy nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.