Trả lời câu hỏi - Hoạt động 2 trang 113

1. Nội dung câu hỏi

Cho $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}=1-\frac{1}{n+1}$ và $x_n^{\prime}=1+\frac{1}{n}$. Tính $\mathrm{y}_{\mathrm{n}}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)$ và $\mathrm{y}_{\mathrm{n}}^{\prime}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}^{\prime}\right)$.

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức giới hạn hàm số tính các giới hạn.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $x_n=1-\frac{1}{n+1}<1$ với mọi $n>0=>x_n-1<0$ với mọi $n>0$.
Do đó, $y_n=f\left(x_n\right)=\frac{\left|x_n-1\right|}{x_n-1}=\frac{-\left(x_n-1\right)}{x_n-1}=-1$.
Ta cũng có: $x_n^{\prime}=1+\frac{1}{n}>1$ với mọi $\mathrm{n}>0=>x_n^{\prime}-1<0$ với mọi $\mathrm{n}>0$.
Do đó, $\mathrm{y}_{\mathrm{n}}^{\prime}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}^{\prime}\right)=\frac{\left|\mathrm{x}_{\mathrm{n}}^{\prime}-1\right|}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}^{\prime}-1}=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}^{\prime}-1}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}^{\prime}-1}=1$.

1. Nội dung câu hỏi

Tìm giới hạn của các dãy số ( $\left.\mathrm{y}_n\right)$ và ( $\left.\mathrm{y}_{\mathrm{n}}^{\prime}\right)$.

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức giới hạn hàm số.

3. Lời giải chi tiết

Ta có $\lim _{n \rightarrow+\infty} y_n=\lim _{n \rightarrow+\infty}(-1)=-1 ; \lim _{n \rightarrow+\infty} y_n^{\prime}=\lim _{n \rightarrow+\infty} 1=1$.

1. Nội dung câu hỏi

Cho các dãy số $\left(x_n\right)$ và $\left(x_n^{\prime}\right)$ bất kì sao cho $x_n<1<x_n^{\prime}$ và $x_n \rightarrow 1, \quad x_n^{\prime} \rightarrow 1$, tính $\lim _{n \rightarrow+\infty} f\left(x_n\right)$ và $\lim _{n \rightarrow+\infty} f\left(x_n^{\prime}\right)$.

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức giới hạn hàm số.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{|\mathrm{x}-1|}{\mathrm{x}-1}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}-1} & \text { nếu } \mathrm{x}-1>0 \\ \frac{-(\mathrm{x}-1)}{\mathrm{x}-1} & \text { nê'u } \mathrm{x}-1<0\end{array}= \begin{cases}1 & \text { nê'u } \mathrm{x}-1>0 \\ -1 & \text { nếu } \mathrm{x}-1<0\end{cases}\right.$ Vi $x_n<1<x_n^{\prime}$, suy ra $x_n-1<0$ và $x_n^{\prime}-1>0$ với mọi $n$.
Do đó, $f\left(x_n\right)=-1$ và $f\left(x_n^{\prime}\right)=1$.
Vậy $\lim _{n \rightarrow+\infty} f\left(x_n\right)=-1$ và $\lim _{n \rightarrow+\infty} f\left(x_n^{\prime}\right)=1$.