Trả lời câu hỏi - Hoạt động khám phá 4 trang 67

1. Nội dung câu hỏi

Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

2. Phương pháp giải

Dựa vào đề bài, ta đưa ra công thức tổng quát của $u_k$ dựa vào công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ : $u_k=u_1 \cdot q^{k-1}$.

3. Lời giải chi tiết

Theo đề bài, ta thấy $\left(u_k\right)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$, công bội $q=\frac{1}{2}$.
Vậy $u_k=u_1 \cdot q^{k-1}=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1}{2^k}$.

1. Nội dung câu hỏi

Tính tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

2. Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tổng $S_n$ của $n$ số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q: S_n=u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$.

3. Lời giải chi tiết

$\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$, công bội $q=\frac{1}{2}$.
Vậy $S_n=u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{2}}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n$.

1. Nội dung câu hỏi

Tìm giới hạn limS_n và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

2. Phương pháp giải

Áp dụng các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số và công thức tính giới hạn cơ bản: $\lim q^n=0$, với $q$ là số thực thỏa mãn $|q|<1$.

3. Lời giải chi tiết

$\lim S_n=\lim \left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)=\lim 1-\lim \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$\lim 1=1$ vì 1 là hằng số.
$\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1$ nên $\lim \left(\frac{1}{2}\right)^n=0$
Vậy $\lim S_n=\lim 1-\lim \left(\frac{1}{2}\right)^n=1-0=1$
Giới hạn này bằng diện tích của hình vuông ban đầu.