Hệ thống lại từ A - Z kiến thức về phương trình đường thẳng!

Phương trình đường thẳng là một công thức mô tả đặc trưng của một đường thẳng trong không gian hai chiều. Đây là kiến thức quan trọng trong phần Đại số của môn Toán. Các em cần ghi nhớ để áp dụng vào giải bài tập. 

Hãy để Admin giúp các em hệ thống lại từ A - Z kiến thức về phương trình đường thẳng cho dễ dàng ôn tập nhé!

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì?

Vectơ của một đường thẳng trong không gian hai chiều là một vectơ có hướng và độ dài tương đồng với đường thẳng đó. Vectơ của một đường thẳng có thể được tính bằng cách tìm vectơ của hai điểm trên đường thẳng. 

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Ví dụ, nếu ta có hai điểm $A\left(x_ 1, y_1\right)$ và $B\left(x_2, y_2\right)$ trên một đường thẳng, thì vectơ của đường thẳng có thể được tính bằng cách lấy vectơ $A B=\left(x_2-x_1 , y_2-y_1\right)$

Vectơ của một đường thẳng có thể cũng được xác định bằng cách sử dụng phương trình đường thẳng. Ví dụ, nếu phương trình của một đường thẳng là y = mx + b, thì vectơ của đường thẳng đó là (1, m).

Có 2 loại vectơ đường thẳng các em cần biết:

Vectơ chỉ phương

Vecto chỉ phương là một vectơ có độ dài bằng 1 và hướng tương đồng với một đường thẳng hoặc một đoạn thẳng nào đó. Vectơ chỉ phương có thể được sử dụng để biểu diễn hướng của một đường thẳng hoặc một đoạn thẳng. Hoặc để tính toán các khoảng cách giữa các điểm trên một đường thẳng hoặc một đoạn thẳng.

Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của song song hoặc trùng với d.

Chú ý: Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Để tìm vectơ chỉ phương của một đường thẳng hoặc một đoạn thẳng, ta có thể sử dụng cách sau:

• Tính toán vectơ của hai điểm trên đường thẳng hoặc đoạn thẳng
• Dau đó chia cho độ dài của vectơ đó để lấy vectơ chỉ phương. 
• Ví dụ, nếu ta có hai điểm$A\left(x_ 1, y_1\right)$ và $B\left(x_2, y_2\right)$ trên một đường thẳng, thì vectơ chỉ phương của đường thẳng có thể được tính bằng cách lấy vectơ $A B=\left(x_2-x_1 , y_2-y_1\right)$ và sau đó chia cho độ dài của vectơ AB.

Vectơ pháp tuyến

Vecto pháp tuyến của một đường thẳng là một vectơ có hướng vuông góc với đường thẳng và có độ dài bằng 1. Vectơ pháp tuyến có thể được sử dụng để biểu diễn hướng của một đường thẳng hoặc một đoạn thẳng. Hoặc để tính toán các khoảng cách giữa các điểm trên một đường thẳng hoặc một đoạn thẳng.

Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ΔΔ nếu vuông góc với vectơ chỉ phương của ΔΔ.

Trong đó: Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ΔΔ thì cũng là một vectơ pháp tuyến của ΔΔ. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Để tìm vectơ pháp tuyến của một đường thẳng, ta có thể sử dụng cách sau:

• Phương trình đường thẳng để tìm hệ số góc của đường thẳng 
• Sử dụng công thức sau để tính toán vectơ pháp tuyến: vectơ pháp tuyến = (-$\frac{1}{m}$, 1), trong đó m là hệ số góc của đường thẳng.
• Ví dụ, nếu phương trình của một đường thẳng là y = 2x + 1, thì hệ số góc của đường thẳng là 2 và vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó là (-$\frac{1}{2}$, 1).

Tiếp theo cùng tìm hiểu các dạng phương trình đường thẳng trong phần chia sẻ dưới đây nhé!

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Phương trình đường thẳng trên 1 mặt phẳng có 8 dạng khác nhau. Bao gồm:

Phương trình đường thẳng gồm những dạng nào?

1. Phương trình tổng quát

Phương trình Δ : ax + by + c = 0, a + b ≠ 0 là PTTQ của đường thẳng Δ nhận n (a;b) làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.

1. Δ: ax + c = 0,(a≠0) nên Δ song song hoặc trùng với Oy.
2. Δ: by + c = 0,(a≠0) nên Δ song song hoặc trùng với Ox.
3. Δ: ax + by = 0, a + b ≠ 0 nên Δ đi qua gốc tọa độ.

2. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng cắt Ox và Oy lần lượt tại 2 điểm A(a; 0) và B(0; b) có phương trình đoạn theo chắn là $\frac{x}{a}$+ $\frac{y}{b}$ = 1 (a, b ≠ 0)

3. Phương trình tham số

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x ,y ) và nhận $\mathrm{u}=\left(\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2\right)$ là vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_1 t \\ y=y_0+u_2 t\end{array}\right.$

với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R ta được một điểm thuộc đường thẳng.

4. Phương trình chính tắc

Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua M (x , y ) và có vectơ chỉ phương $\mathrm{u}=\left(\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2\right)$ là

$\frac{x-x_o}{u_1}=\frac{y-y_o}{u_2}$

Với u , u ≠ 0

5. Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc α. Đặt k = tanα, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

1. Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\mathrm{u}=\left(\mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2\right)$  thì có hệ số góc $k=\frac{u_2}{u_1}$
2. Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n = (a,b) thì có hệ số góc $k=-\frac{a}{b}$
3. Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.
4. Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.

6. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Xét 2 đường thẳng D : $a_1 x+b_1 y+c_1=0 ; D: a_2 x+b_2 y+c_2=0$. Tọa độ giao điểm D, D là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}a_1 x+b_1 y+c_1=0 \\ a_2 x+b_2 y+c_2=0\end{array}\right.$ (I)

Ta có các trường hợp sau:

Hệ (I) có một nghiệm (x₀; y₀ ), khi D₁ cắt D₂ tại M (x ; y )

Hệ (I) có vô số nghiệm khi D₁ trùng D₂

Hệ (I) vô nghiệm khi D₁//D₂

Lưu ý: Nếu a , b , c ≠ 0 thì

$\begin{aligned} & D_1 \text { cắt } D_2 \Leftrightarrow \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \\ & D_1 / / D_2 \Leftrightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \\ & D_1 \equiv D_2 \Leftrightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\end{aligned}$

7. Góc giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng Δ₁ : a₁x + b₁y + c₁ = 0 có vectơ pháp tuyến n₁ và Δ : a₂x + b₂y + c₂= 0 có vectơ pháp tuyến n₂. 

Đặt j = ( Δ₁ , Δ ), khi đó

$\begin{aligned} & D_1 \text { cắt } D_2 \Leftrightarrow \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \\ & D_1 / / D_2 \Leftrightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \\ & D_1 \equiv D_2 \Leftrightarrow \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\end{aligned}$

Lưu ý:

Δ₁ ⊥ Δ₂ ⇔ n₁ ⊥ n₂ ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ = 0

Nếu Δ₁ và Δ₂ có phương trình đường thẳng là y₁ = k₁x + m₁ và y₂ = k₂x + m₂ thì

Δ₁⊥ Δ₂ ⇔ k₁k₂ = -1

8. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng (d) ax + by + c = 0 và M(x ; y ) ∉ (d), khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức

$d(M, d)=\frac{\left|a x_0+b y_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Phương trình đường thẳng trong không gian

Không chỉ là phương trình đường thẳng trên mặt phẳng, các em cần biết cả công thức về phương trình đường thẳng trong không gian. Trong không gian, phương trình đường thẳng có 2 dạng sau: 

1. Dạng tham số

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M($x_0$,$y_0$,$z_0$) và nhận vectơ u = (u₁, u₂, u₃) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_1 t \\ y=y_0+u_2 t \\ z=z_0+u_3 t\end{array}\right.$

với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R ta được một điểm thuộc đường thẳng.

2. Dạng chính tắc

Nếu cả u₁, u₂, u₃ đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc

$\frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}=\frac{z-z_0}{u_3}$

3.Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương vectơ u = (u₁, u₂, u₃) và (d') có vectơ chỉ phương u’ = (u’₁, u’₂, u’₃). Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x’, y', z') là một điểm nằm trên (d'). Ta có:

$(\mathrm{d}) \equiv\left(\mathrm{d}^{\prime}\right) \Leftrightarrow\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right]=\left[\vec{u}, \overrightarrow{M M^{\prime}}\right]=\overrightarrow{0}$

(d) $/ /\left(\mathrm{d}^{\prime}\right) \Leftrightarrow\left[\vec{u}, \overrightarrow{u^{\prime}}\right]=\overrightarrow{0}$ và $\left[\vec{u}, \overrightarrow{M M^{\prime}}\right] \neq \overrightarrow{0}$

(d) cắt $\left(\mathrm{d}^{\prime}\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\vec{u} ; \overrightarrow{u^{\prime}}\right] \neq \overrightarrow{0}} \\ \overrightarrow{M M^{\prime}} \cdot\left[\vec{u} ; \overrightarrow{u^{\prime}}\right]=0\end{array}\right.$

(d) và (d') chéo nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow{M M^{\prime}} .\left[\vec{u} ; \overrightarrow{u^{\prime}}\right] \neq 0$

Trên đây là tổng hợp những kiến thức cơ bản và nâng cao về phương trình đường thẳng. Các em cần ghi nhớ những công thức và tính chất trên để vận dụng vào giải bài tập nhé. Phương trình đường thẳng sẽ có những dạng bài tập liên quan nào? Tiếp tục theo dõi FQA để biết thêm nhé!