Phương trình đường tròn lớp 10: Công thức và bài tập liên quan

Một phương trình đường tròn là một công thức dùng để mô tả một đường tròn trên mặt phẳng. Các em cần nắm vững các thông tin và kiến thức về công thức của phương trình đường tròn để áp dụng vào giải các bài tập liên quan. 

Cùng Admin nhắc lại các kiến thức quan trọng nhất về phương trình đường tròn và các dạng bài tập liên quan trong bài chia sẻ dưới đây nhé!

Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn là một công thức toán học dùng để mô tả một đường tròn trong không gian hai chiều. Một đường tròn là một đường cong có độ lớn bằng 360 độ và có một tâm có tên là tâm O. 

Định nghĩa phương trình đường tròn

Công thức phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I(a; b) bán kính R có phương trình:

(x – a)² + (y – b)² = R²

Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x² + y² = R²

Ngoài ra, Phương trình đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R² có thể viết dưới dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0

Trong đó:

• c = a² + b² – R².
• Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi a² + b² – c > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2-c}$.

Phương trình đường tròn có tác dụng gì?

Phương trình đường tròn có rất nhiều ứng dụng trong toán học và khoa học máy tính. Bao gồm việc tìm ra các giao điểm giữa các đường cong, tính toán khoảng cách giữa các điểm, và xác định xem một điểm có nằm trên đường tròn hay không. Phương trình đường tròn cũng có thể được sử dụng để mô tả các hình dạng khác trong không gian hai chiều, chẳng hạn như ellipse (hình ellipse), parabola (hình parabol), và hypebol (hình hyperbol). Chẳng hạn như: 

1. Trong khoa học máy tính, phương trình đường tròn được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng vẽ hình và đồ họa máy tính, để xác định vị trí các điểm trên màn hình và vẽ các hình dạng tròn hoặc elip. Phương trình đường tròn cũng có thể được sử dụng trong các mô hình hóa và xác định các quan hệ giữa các điểm trên một đường tròn.
2. Trong các ngành khác, phương trình đường tròn cũng có nhiều ứng dụng. Chẳng hạn, trong các ngành công nghiệp, phương trình đường tròn có thể được sử dụng để thiết kế các máy móc hoặc thiết bị có các bề mặt tròn hoặc elip. 
3. Trong ngành xây dựng, phương trình đường tròn có thể được sử dụng để thiết kế các cầu và các đường cong khác trong xây dựng công trình giao thông. Trong lĩnh vực hệ thống điều khiển, phương trình đường tròn có thể được sử dụng để mô hình hóa các hệ thống điều khiển và xác định các quan hệ giữa các thành phần của hệ thống.

Tóm lại, phương trình đường tròn là một công thức toán học rất quan trọng và có rất nhiều ứng dụng trong không gian hai chiều. Bao gồm việc tìm ra các điểm trên đường tròn, tìm ra các thông tin về đường tròn, và mô hình hóa các hình dạng trong không gian hai chiều.

Phương trình tiếp tuyến đường tròn

Phương trình tiếp tuyến đường tròn là công thức toán học dùng để xác định một đường thẳng tiếp tuyến với một đường tròn trong không gian hai chiều. Đường thẳng tiếp tuyến với một đường tròn là đường thẳng có một điểm chung với đường tròn và không chéo qua đường tròn.

Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.

Đường thẳng Δ là tiếp tuyến với (C) tại điểm M_o(x_o; y_o).

Ta có

+) M_o(x_o; y_o) thuộc Δ.

+)$\overrightarrow{I M_0}$= (x0 – a; y0 – b) là vectơ pháp tuyến của Δ.

Do đó Δ có phương trình là

(x_o – a).(x – x_o) + (y_o – b).(y – y_o) = 0. (1)

Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x − a)² + (y − b)² = R² tại điểm M nằm trên đường tròn.

Trong đó:

• (x, y) là tọa độ của một điểm trên đường thẳng tiếp tuyến.
• (a, b) là tọa độ của điểm chung giữa đường thẳng và đường tròn.

Các dạng phương trình đường tròn

Nếu đã nắm vững các công thức ở trên, việc bây giờ là các em cần vận dụng chúng vào để giải bài tập. Hiện nay, liên quan đến kiến thức phương trình đường tròn sẽ có 4 dạng bài tập chủ đạo như sau: 

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn.

Với dạng đề bài này, các em có thể áp dụng 2 cách giải sau

• Cách 1: Dựa trực tiếp vào phương trình đề bài cho:

Từ phương trình (x-a)² + (y-b)² = R² ta có: tâm I (a; b), bán kính R 

Từ phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 ta có: tâm I (a; b), bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2-c}$

• Cách 2: Biến đổi phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 về phương trình (x-a)² + (y-b)² = R²  để tìm tâm I (a; b) , bán kính R. 

Dạng 2: Cách viết các dạng phương trình đường tròn.

Dạng đề bài này cũng có 2 phương pháp để các em có thể áp dụng. 

• Cách 1: 

- Tìm tọa độ tâm I (a; b) của đường tròn (C) 

- Tìm bán kính R của đường tròn (C)

- Viết phương trình đường tròn dưới dạng (x-a)² + (y-b)² = R²

• Cách 2: (Sử dụng khi biết tọa độ của 3 điểm thuộc đường tròn)

- Giả sử phương trình đường tròn có dạng x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

- Từ đề bài, thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c 

- Giải hệ tìm a, b, c rồi thay vào phương trình đường tròn.  

Chú ý: Khi đường tròn (C) tâm I  đi qua hai điểm A, B thì IA² = IB² = R²

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường tròn, đường tròn và đường thẳng

Tùy theo yêu cầu đề bài sẽ có những phương pháp giải khác nhau. Cụ thể như sau: 

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (C₁) có tâm I₁, bán kính R₁ và đường tròn (C₂) có tâm I₂, bán kính R₂.

+ Nếu I₁I₂ > R₁ +  R₂  thì hai đường tròn không có điểm chung .

+ Nếu thì I₁I₂ = R₁ +  R₂ hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

+ Nếu I₁I₂ = |R₁ -  R₂| thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

+ Nếu R₁ -  R₂ < I₁I₂ < R₁ +  R₂ thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm (với R₁ >  R₂ ).

Vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng

Cho đường tròn (C) tâm I (x₀;y₀) có phương trình (x-a)² + (y-b)² = R² hoặc x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 và đường thẳng Δ  có phương trình ax + by + c = 0

+ Tính khoảng cách d (I,Δ ) từ tâm I đến đường thẳng Δ  theo công thức, d(I,Δ ) là:

$\frac{\left|\mathrm{ax}_0+\mathrm{by}_0+\mathrm{c}\right|}{\sqrt{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}}$

+ Tính bán kính R của đường tròn (C).

+ So sánh d (I,Δ)  với R :

Nếu d (I,Δ) = R thì đường thẳng Δ   tiếp xúc với đường tròn (C).

Nếu d (I,Δ) > R thì đường thẳng Δ không giao với đường tròn (C).

Nếu d (I,Δ) < R thì đường thẳng Δ giao với đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Dạng 4: Tiếp tuyến với đường tròn

Dạng bài này, các em có thể áp dụng các bước giải dưới đây. 

- Tiếp tuyến tại một điểm M(x₀;y₀) thuộc đường tròn. Ta có:

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: xx₀ + yy₀ - a(x+x₀) - b(y+y₀) + c = 0

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng (x-a)² + (y-b)² = R² thì phương trình tiếp tuyến là: (x-a)(x₀-a) + (y-b)(y₀-b) = R² 

- Tiếp tuyến vẽ từ một điểm N(x₀;y₀) cho trước nằm ngoài đường tròn. 

+ Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm N: 

y-y₀ = m(x-x₀) $\Leftrightarrow$ mx - y - mx₀ + y₀ = 0 (1)

+ Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m thay m vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến. 

- Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k. 

+ Phương trình của đường thẳng d có dạng: y = kx + m (m chưa biết) 

<=> kx – y + m = 0 (2)

+ Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m. Thay vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến.

Áp dụng công thức và phương pháp vào giải các bài tập phương trình đường tròn lớp 10

Với những chia sẻ trên, các em đã biết các áp dụng vào để giải bài tập chưa? Cùng thử luyện tập ngay với các bài tập minh họa cho từng dạng đề toán về phương trình đường tròn dưới đây nhé!

Bài 1: Cho đường tròn có phương trình x² + y² - 6x + 10y - 2 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn. 

Lời giải

Gọi tâm của đường tròn là I (a; b) và bán kính R ta có: 

$\left\{\begin{array}{l}-2 a x=-6 x \\ -2 b y=10 y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=-5\end{array}\right.\right.$ 

Vậy I(-3;5)

Và R = $\sqrt{a^2+b^2-c}$ = $\sqrt{3^2+(-5)^2-(-2)}$  = 6

Vậy đường tròn có tâm I (3; -5) và bán kính R = 6. 

Bài 2: Cho đường tròn có phương trình 4x² + 4y² - 4x + 8y - 59 = 0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn. 

Lời giải

Gọi tâm của đường tròn là I (a; b) và bán kính R ta có: 

4x² + 4y² - 4x + 8y - 59 = 0

$\Leftrightarrow$ x² + y² - x + 2y - 59/4 = 0

$\Leftrightarrow$x²  - x + y² + 2y - 59/4  = 0

$\Leftrightarrow$ x² - x + 1/4 + y² + 2y + 1 - 16 = 0

$\Leftrightarrow$ (x-½)² + (y+1)² = 16

$\Leftrightarrow$ (x-½)² + (y+1)² = 4²

Vậy đường tròn có tâm I (½; -1) và bán kính R = 4.

Bài 3: Lập phương trình đường tròn (C) tâm I (1; -3) và đi qua điểm O (0; 0). 

Lời giải

Đường tròn (C) đi qua điểm O (0; 0) nên ta có: IO = R = $\sqrt{(0-1))^2+(0+3))^2 }=\sqrt{10 }$

Đường tròn (C) có tâm I (1; -3) và bán kính R =$  \sqrt{10 }$  , ta có phương trình đường tròn: (x-1)² + (y+3)² = 1.

Bài 4: Lập phương trình đường tròn (C) biết đường tròn đi qua ba điểm A (-1; 3),   B (3; 5) và C (4; -2). 

Lời giải

Giả sử phương trình đường tròn có dạng x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

Đường tròn đi qua điểm A (1; 1) nên ta có phương trình:

(-1)² + 3² - 2a.(-1) - 2b.3 + c = 0

$\Leftrightarrow$ 2a - 6b + c = -10 (1)

Đường tròn đi qua điểm B (3; 5) nên ta có phương trình: 

3² + 5² - 2a.3 - 2b.5 + c = 0

$\Leftrightarrow$  -6a - 10b + c = -34 (2)

Đường tròn đi qua điểm C (4; -2) nên ta có phương trình: 

4² + (-2)² - 2a.4 - 2b.(-2)+ c = 0

$\Leftrightarrow$  -8a + 4b + c = -20 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2 a-6 b+c=-10 \\ -6 a-10 b+c=-34 \\ -8 a+4 b+c=-20\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{3} \\ b=\frac{4}{3} \\ c=\frac{-20}{3}\end{array}\right.\right.$

Ta có phương trình đường tròn: 

x² + y² - 2.$\frac{7}{3}$x - 2.$\frac{4}{3}$y - $\frac{20}{3}$ = 0

$\Leftrightarrow$ x² + y² - $\frac{14}{3}$x - $\frac{8}{3}$y - $\frac{20}{3}$ = 0

Bài 5: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² = 32. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d’: 3x + 5y – 1 = 0 và đường tròn (C).

Lời giải

Xét phương trình đường tròn x² + y² = 32 có: 

Tâm I (0; 0) 

Bán kính R = $\sqrt{32}=4 \sqrt{2}$

Xét phương trình đường thẳng: d’: 3x + 5y – 1 = 0 

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d’ là :

 $\frac{|3.0+5.0-1|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{\sqrt{34}}{34}$ 

$1 / \sqrt{34 }<\mathrm{R}=4 \sqrt{2 }$

Vậy đường thẳng d’ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt. 

Bài 6: Cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)² + (y-1)² = 25 và đường tròn (C’) có phương trình (x-6)² + (y-5)² = 18. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C) và (C’). 

Lời giải

Xét phương trình đường tròn (C) là (x - 1)² + (y - 1)² = 25, ta có: 

Tâm I₁(1;1), bán kính R₁ = $\sqrt{25}$ = 5

Xét phương trình đường tròn (C’) là (x - 6)² + (y - 5)² = 18, ta có: 

Tâm I₂(6;5), bán kính R₂ = $\sqrt{18}=3 \sqrt{2 }$

Ta có: 

$\sqrt{(6-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{41}$

R₁ +  R₂ = 5 +$3 \sqrt{2}$

R₁ -  R₂ = 5 - $3 \sqrt{2}$

=> R₁ -  R₂ < I₁I₂  < R₁ +  R₂

Vậy hai đường tròn (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm. 

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M (3; 4) biết đường tròn có phương trình là (x-1)² + (y-2)² = 8. 

Lời giải

Xét phương trình đường tròn (C) có: Tâm I (1; 2) và bán kính R = $ \sqrt{8}$ = $2 \sqrt{2}$

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M (3; 4) là: 

(3 – 1)(x – 3) + (4 – 2)(y – 4) = 0 

$\Leftrightarrow$  3x – 9 – x + 3 + 4y – 16 – 2y + 8 = 0

$\Leftrightarrow$  2x + 2y – 14 = 0

$\Leftrightarrow$  x + y – 7 = 0

Bài 8: Cho đường tròn (C) có phương trình: x² + y² - 4x + 8y + 18 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A (1; 1). 

Lời giải

Xét phương trình đường tròn: x² + y² - 4x + 8y + 18 = 0

Ta có tâm I (2; -4) và bán kính R  =  $\sqrt{2^2 + (-4)^2 - 18} = \sqrt{2}$

Xét điểm A (1; 1) có:

1² + 1² - 4.1 + 8.1 + 18 ≠ 0 => Điểm A không nằm trên đường tròn (C)

Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1; 1) với hệ số góc k là 

Δ : y = k(x – 1) + 1 $\Leftrightarrow$  kx – y – k + 1 = 0

Để đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng Δ  phải bằng bán kính R.

Ta có: d (I,Δ  ) = R

 $\frac{|2 \mathrm{k}+4-\mathrm{k}+1|}{\sqrt{\mathrm{k}^2+1}}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow$  |k+5| = $\left(\sqrt{2(k^2+1) }) \right.$

$\Leftrightarrow$  k² + 10k + 25 = 2k² + 2

$\Leftrightarrow$  k² - 10k - 23 = 0

=> k = 5 - $4 \sqrt{3}$ hoặc  5 +$4 \sqrt{3}$

Với k = 5 - $4 \sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:

y = (5-$4 \sqrt{3}$)x - 5 + $4 \sqrt{3}$ + 1  

y = (5-$4 \sqrt{3}$ )x - 4 +$4 \sqrt{3}$

Với k = 5 + $4 \sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:

$\Leftrightarrow$  y = (5+$4 \sqrt{3}$)x - 5 - $4 \sqrt{3}$ + 1 

$\Leftrightarrow$ y =(5+$4 \sqrt{3}$ )x - 4 - $4 \sqrt{3}$

Kết luận

Trên đây là những công thức cơ bản về phương trình đường tròn. Các dạng bài tập và những ví dụ minh họa trên sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phần công thức này. Hãy nhớ luyện tập chăm chỉ để đạt điểm 10 Toán nhé!