[Tổng hợp] Kiến thức về tích phân và dạng bài liên quan

Tích phân (Tiếng Anh: integral) là một khái niệm và phạm trù toán học liên quan đến toàn bộ quá trình thay đổi của một thực thể nguyên thuỷ (thực thể đó thường được diễn tả bằng một hàm số phụ thuộc vào biến số được gọi là nguyên hàm) khi đã xác định được tốc độ thay đổi của nó. Tích phân là phần kiến thức quan trọng được học trong chương trình toán lớp 12, trong bài viết này chúng mình cùng ôn lại khái niệm tích phân, tính chất, bảng nguyên hàm và vi phân, bảng nguyên hàm mở rộng và các dạng bài tập tích phân nhé.

Khái niệm tích phân

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[a ; b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$.

Khi đó hiệu số $F(b)-F(a)$ được gọi là tích phân từ $a \rightarrow b$.

$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_a ^b=F(b)-F(a) .$

Tính chất 

Bảng nguyên hàm và vi phân

Bảng nguyên hàm mở rộng

Các dạng bài tập

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm để tính tích phân 

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa, tính chất và bảng nguyên hàm được đề cập ở mục 1, 2, 3 ở trên.

Ví dụ minh họa: 

Cho $\int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d} x=1, \int_{-2}^4 f(t) \mathrm{d} t=-4$. Tính $\int_2^4 f(y) \mathrm{d} y$

Lời giải

Ta có: $\int_{-2}^4 f(t) \mathrm{d} t=\int_{-2}^4 f(x) \mathrm{d} x, \int_2^4 f(y) \mathrm{d} y=\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x$.

Khi đó: $\int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d} x+\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x=\int_{-2}^4 f(x) \mathrm{d} x$.

$\Rightarrow \int_2^4 f(x) \mathrm{d} x=\int_{-2}^4 f(x) \mathrm{d} x-\int_{-2}^2 f(x) \mathrm{d} x=-4-1=-5. $

$\text {Vậy } \int_2^4 f(y) \mathrm{d} y=-5 \text {. }$

Dạng 2. Tích phân từng phần 

Phương pháp giải:

Nếu $u=u(x)$ và $v=v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a ; b]$ thì

$\int_a^b u(x) v^{\prime}(x) d x=\left.[u(x) v(x)]\right|_a ^b-\int_a^b u^{\prime}(x) v(x) d x$

$\text { Hay } \int_a^b u d v=\left.u v\right|_a ^b-\int_a^b v d u$.

Lưu ý:

- Ta chọn $u$ theo quy tắc: Nhất - log; Nhì - đa; Tam - mũ; Tứ - lượng.

- Còn $dv$ là phần còn lại trong dấu $\int$.

- Dấu ở các mũi tên: mũi tên đầu tiên luôn luôn là dấu + và đan xen dấu cho nhau.

Ví dụ minh họa: 

Biết rằng tích phân $I=\int_0^1(2 x+1) \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=a+b.e (a ; b \in \mathbb{Z})$, tích $a \cdot b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=2 x+1 \\ \mathrm{~d} v=\mathrm{e}^x \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=2 \mathrm{~d} x \\ v=\mathrm{e}^x\end{array} \Rightarrow I=\left.(2 x+1) \mathrm{e}^x\right|_0 ^1-2 \int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\left.(2 x-1) \mathrm{e}^x\right|_0 ^1=1+\mathrm{e} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=1\end{array}\right.\right.\right.$.

Vậy tích $a b=1$.

Dạng 3. Tích phân đổi biến loại 1 (đặt $t = u(x)$) 

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt $t=u(x)$, đổi cận

$x =a \Rightarrow t=u(a)=a^{\prime}$

$x =b \Rightarrow t=u(b)=b^{\prime}$.

Bước 2: Tính vi phân $\mathrm{dt}=\mathrm{u}^{\prime}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}$

Bước 3: Biến đổi $f(x) d x$ thành $g(t) d t$

Bước 4: Tính tích phân.

Dấu hiệu nhận biết: Biểu thức trong dấu tích phân có các dấu hiệu sau:

Ví dụ minh họa: 

Cho $\int_5^{21} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x+4}}=a \ln 3+b \ln 5+c \ln 7$, với $a, b, c$ là các số hữu tỉ. Tính $S=a+b+c$.

Lời giải

Đặt $t=\sqrt{x+4} \Rightarrow 2 t \mathrm{~d} t=\mathrm{d} x$. Với $\left\{\begin{array}{l}x=5 \Rightarrow t=3 \\ x=21 \Rightarrow t=5\end{array}\right.$;

Ta có $\int_5^{21} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x+4}}=2 \int_3^5 \frac{\mathrm{d} t}{t^2-4}=\left.\frac{1}{2}(\ln |t-2|-\ln |t+2|)\right|_3 ^5=\frac{1}{2} \ln 3+\frac{1}{2} \ln 5-\frac{1}{2} \ln 7$.

Khi đó $a=\frac{1}{2} ; b=\frac{1}{2} ; c=-\frac{1}{2} \Rightarrow S=a+b+c=-\frac{1}{2}$.

Dạng 4. Tích phân đổi biến loại 2 (đặt $x = u(t)$)

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt $x=u(t)$, đổi cận

- $\mathrm{x}=\mathrm{a} \Rightarrow \mathrm{t}=\mathrm{a}^{\mathrm{r}}$

- $x=b \Rightarrow t=b^{\prime}$

Bước 2: Lấy vi phân 2 vế $\mathrm{dx}=\mathrm{u}^{\prime}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}$

Bước 3: Biến đổi $f(x) d x=f(u(t)) \cdot u^{\prime}(t) d t=g(t) d t$

Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức:

$\int_a^b f(x) d x=\int_{a^{\prime}}^{b^{\prime}} g(t) d t$.

Dấu hiệu nhận biết: Biểu thức trong dấu tích phân có các dấu hiệu sau:

Ví dụ minh họa: 

Giá trị của $\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \mathrm{~d} x=\frac{a}{b} \pi$ trong đó $a, b \in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T=a b$.

Lời giải

Đặt $x=3 \sin t \Leftrightarrow \mathrm{d} x=3 \cos t \mathrm{~d} t$. 

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=0 \rightarrow t=0 \\ x=3 \rightarrow t=\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$.

$\Rightarrow I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9-(3 \sin t)^2} \cdot 3 \cos t \mathrm{~d} t$

$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 9 \cos ^2 t \mathrm{~d} t=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 9 \cdot \frac{1+\cos 2 t}{2} \mathrm{~d} t=\frac{9}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 t) \mathrm{d} t=\left.\frac{9}{2}\left(t+\frac{1}{2} \sin 2 t\right)\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{9}{4} \pi$.

Vậy $T=9.4=36$.

Dạng 5. Kết hợp phương pháp đổi biến và tích phân từng phần

Phương pháp giải:

Cách 1: Từng phần - Đổi biến:

Tính $I=\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x$, áp dụng "Từng phần" ta được $I=\left.h(x)\right|_a ^b+\int_a^b p(x) \mathrm{d} x$. Lúc này ta áp dụng "Đổi biến" để tính $\int_a^b p(x) \mathrm{d} x$.

Cách 2: Đổi biến - Từng phần:

Tính $I=\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x$, áp dụng "Đổi biến" ta được $I=\int_{t=u(a)}^{t=u(b)} k(x) p(x) \mathrm{d} x$. Lúc này ta áp dụng "Từng phần" để tính $\int_{t=u(a)}^{t=u(b)} k(x) p(x) \mathrm{d} x$.

Ví dụ minh họa: 

Cho tích phân $I=\int_0^{\pi^2} \sqrt{x} \cdot \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x=a n^2+b(a, b \in \mathbb{Z})$, Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\frac{a}{b}<-3$ B. $a^2-b=-4$.

C. $\frac{a}{b} \in(-1 ; 0)$ D. $a-b=6$

Lời giải

Đặt $\sqrt{x}=t \Rightarrow x=t^2 \Rightarrow \mathrm{d} x=2 t \mathrm{~d} t$. 

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=0 \rightarrow t=0 \\ x=\pi^2 \rightarrow t=\pi\end{array}\right.$ 

$\longrightarrow I=\int_0^{\pi} 2 t^2 \sin t \mathrm{~d} t$, đặt $\left\{\begin{array}{l}u=2 t^2 \\ \mathrm{~d} v=\sin t \mathrm{~d} t\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=4 t \mathrm{~d} t \\ v=-\cos t\end{array}\right.\right.$. 

$\longrightarrow I=-\left.2 t^2 \cos t\right|_0^{\pi}+\int_0^{\pi} 4 t \cos t \mathrm{~d} t$, đặt $\left\{\begin{array}{l}u_1=4 t \\ \mathrm{~d} v_1=\cos t \mathrm{~d} t\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u_1=4 \mathrm{~d} t \\ v_1=\sin t\end{array}\right.\right.$. 

$\longrightarrow I=-\left.2 t^2 \cos t\right|_0 ^{\pi}+\left.4 t \sin t\right|_0 ^\pi-\int_0^\pi 4 \sin t \mathrm{~d} t=-2\left(-\pi^2\right)+\left.4 \cos t\right|_0 ^\pi=2 \pi^2-8 \rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=-8\end{array}\right.$. 

Do đó $a=2 ; b=-8 \Rightarrow \frac{a}{b} \in(-1 ; 0)$.

Dạng 6. Tính tích phân dựa vào đồ thị

Phương pháp giải:

Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$ thì tích phân $\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right|$ là diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $O x$ và hai đường thẳng $x=a ; x=b$.

Ví dụ minh họa:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0 ; 4]$ và có đồ thị như hình bên. Tích phân $\int_0^4 f(x) \mathrm{d} x$ bằng

A. 1 B. 2 . C. 3 D. 4

Lời giải

Ta có: $\int_0^4 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x+\int_2^4 f(x) \mathrm{d} x=S_{A B C O}-S_{C D E}$.

Diện tích hình tam giác $C D E$ là: $S_{C D E}=\frac{2.2}{2}=2$

Diện tích hình thang $A B C O$ là: $S_{A B C O}=\frac{2 \cdot(1+2)}{2}=3$.

Vậy $\int_0^4 f(x) \mathrm{d} x=3-2=1$

Dạng 7. Tính tích phân cho bởi nhiều công thức

Bài toán 1: 

Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}g(x) & \text { khi } x \leq b \\ h(x) & \text { khi } x>b\end{array}\right.$ liên tục trên $D$. Tính $J=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x$.

Xét $b \in[a ; c]$.

Phương pháp giải:

+ Bước 1. Kiểm tra hàm số $f(x)$ có liên tục tại $x=b$ ?

Tức là kiểm tra $\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{+}} f(x)=f(b) \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow b^{-}} g(x)=\lim _{x \rightarrow b^{+}} h(x)=f(b)$.

+ Bước 2. Tách cận: $J=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x=\underbrace{\int_a^b g(x) \mathrm{d} x}_{I_1}+\underbrace{\int_b^c h(x) \mathrm{d} x}_{I_2}$.

+ Bước 3. Tính các tích phân $I_1 ; I_2$ bằng các phương pháp đã học.

Ví dụ minh họa: 

Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 x^2 & \text { khi } 0 \leq x \leq 1 \\ 4-x & \text { khi } 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$. Tính $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$.

Lời giải

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(4-x)=3 \\ \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(3 x^2\right)=3\end{array}\right.$, và $f(1)=3$.

Vì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x=1$.

Suy ra $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=f(1)$.

Khi đó $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 3 x^2 \mathrm{~d} x+\int_1^2(4-x) \mathrm{d} x=\left.x^3\right|_0 ^1+\left.\left(4 x-\frac{x^2}{2}\right)\right|_1 ^2=1+\left(8-2-4+\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{2}$

Bài toán 2:

Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}g(x ; m) & \text { khi } x \leq b \\ h(x ; m) & \text { khi } x>b\end{array}\right.$ liên tục trên $D$. Tính $J=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x$.

Xét $b \in[a ; c]$.

Phương pháp giải:

+ Bước 1. Kiểm tra hàm số $f(x)$ có liên tục tại $x=b$ ?

Tức là kiểm tra:

$\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{+}} f(x)=f(b) \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow b^{-}} g(x ; m)=\lim _{x \rightarrow b^{+}} h(x ; m)=f(b)$.

+ Bước 2. Tách cận: $J=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x=\underbrace{\int_a^b g(x) \mathrm{d} x}_{I_1}+\underbrace{\int_b^c h(x) \mathrm{d} x}_{I_2}$.

+ Bước 3. Tính các tích phân $I_1 ; I_2$ bằng các phương pháp đã học.

Ví dụ minh họa: 

Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^x+m & \text { khi } x \geq 0 \\ 2 x \sqrt{3+x^2} & \text { khi } x<0\end{array}\right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=a \mathrm{e}+b \sqrt{3}+c$, $(a, b, c \in Q)$. Tổng $a+b+3 c$ bằng

A. 15 B. -10 C. -19 D. -17

Lời giải

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\mathrm{e}^x+m\right)=m+1 \\ \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(2 x \sqrt{3+x^2}\right)=0^{\prime}\end{array}\right.$, và $f(0)=m+1$.

Vì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x=0$.

Suy ra $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(0)$ hay $m+1=0 \Leftrightarrow m=-1$.

Khi đó $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_{-1}^0 2 x \sqrt{3+x^2} \mathrm{~d} x+\int_0^1\left(\mathrm{e}^x-1\right) \mathrm{d} x$

$=\int_{-1}^0 \sqrt{3+x^2} \mathrm{~d}\left(3+x^2\right)+\int_0^1\left(\mathrm{e}^x-1\right) \mathrm{d} x$

$=\left.\frac{2}{3}\left(3+x^2\right) \sqrt{3+x^2}\right|_{-1} ^0+\left.\left(\mathrm{e}^x-x\right)\right|_0 ^1=\mathrm{e}+2 \sqrt{3}-\frac{22}{3} \longrightarrow a=1, b=2, c=-\frac{22}{3} .$

Vậy tổng $a+b+3 c=-19$.

Dạng 8. Tích phân liên quan đến max - min

Phương pháp giải:

Bài toán: Tính $I=\int_a^b \min \{f(x) ; g(x)\} \mathrm{d} x$ hoặc $I=\int_a^b \max \{f(x) ; g(x)\} \mathrm{d} x$.

Ta xét $I=\int_a^b \min \{f(x) ; g(x)\} \mathrm{d} x$ :

+ Bước 1. Giải phương trình $f(x)=g(x) \Leftrightarrow x \in[a ; b]$ thì nhận nghiệm đó.

Giả sử ta được $x=m \in[a ; b]$.

+ Bước 2. Xét hiệu $f(x)-g(x)$, giả sử:

- Trên $[a ; m]: f(x)-g(x)>0 \Rightarrow \min \{f(x) ; g(x)\}=g(x)$.

- Trên $[m ; b]: f(x)-g(x)<0 \Rightarrow \min \{f(x) ; g(x)\}=f(x)$.

+ Bước 3. Khi đó $I=\int_a^b \min \{f(x) ; g(x)\} \mathrm{d} x=\int_a^m g(x) \mathrm{d} x+\int_m^b f(x) \mathrm{d} x$.

Khi đó $I=\int_a^b \max \{f(x) ; g(x)\} \mathrm{d} x$ ta áp dụng tương tự.

Ví dụ minh họa:

Tính tích phân $I=\int_0^3 \max \left\{x^3 ; 4 x^2-3 x\right\} \mathrm{d} x$.

Lời giải

Xét phương trình $x^3=4 x^2-3 x \Leftrightarrow x^3-4 x^2+3 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=1 ; x=3\end{array}\right.$

Trên $[0 ; 1] \rightarrow x^3-\left(4 x^2-3 x\right)>0 \Rightarrow \max \left\{x^3 ; 4 x^2-3 x\right\}=x^3$

Trên $[1 ; 3] \rightarrow x^3-\left(4 x^2-3 x\right)<0 \Rightarrow \max \left\{x^3 ; 4 x^2-3 x\right\}=4 x^2-3 x$

Vậy $I=\int_0^1 x^3 \mathrm{~d} x+\int_1^3\left(4 x^2-3 x\right) \mathrm{d} x=\frac{275}{12}$.

Dạng 9. Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân hàm ẩn 

Bài toán 1: Cho $\int_a^b u^{\prime}(x) \cdot f[u(x)] \mathrm{d} x$, tính $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ hoặc cho $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$, tính $\int_a^b u^{\prime}(x) \cdot f[u(x)] \mathrm{d} x$.

Phương pháp giải:

Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến $t=u(x)$

$\rightarrow$ Lưu ý : $\int_a^b f(t) \mathrm{d} t=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(u) \mathrm{d} u$

Ví dụ minh họa:

Cho $f$ là hàm số liên tục thỏa $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=7$. Tính $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x . f(\sin x) \mathrm{d} x$.

Lời giải

Đặt $t=\sin x \Rightarrow \mathrm{d} t=\cos x \mathrm{~d} x$. 

Đổi cận $x=0 \Rightarrow t=0, x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$.

Ta có $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cdot f(\sin x) \mathrm{d} x=\int_0^1 f(t) \mathrm{d} t=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=7$.

Bài toán 2: 

Tính $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$, biết $f(x)$ thỏa mãn: $A \cdot f(x)+B \cdot u^{\prime} . f(u)+C \cdot f(a+b-x)=g(x)$.

Phương pháp giải:

Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :

(1) Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số $A, B, C$.

(2) Nếu $f(x)$ liên tục trên $[a ; b]$ thì $\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$

(3) Với $\left\{\begin{array}{l}u(a)=a \\ u(b)=b\end{array}\right.$ thì $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{A+B+C} \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$.

(3) Với $\left\{\begin{array}{l}u(a)=b \\ u(b)=a\end{array}\right.$ thì $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{A-B+C} \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$.

Ví dụ minh họa:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0 ; 2]$ và thỏa mãn $f(x)+f(2-x)=2 x$. Tính $I=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$.

Lời giải

Cách 1: (Dùng công thức)

Với $f(x)+f(2-x)=2 x$ ta có $A=1 ; B=1 \Rightarrow I=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{1+1} \int_0^2 2 x \mathrm{~d} x=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0 ^2=2$

Cách 2: (Biến đổi)

Đặt $u=2-x \Rightarrow \mathrm{d} u=-\mathrm{d} x ;$ Với $\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow u=2 \\ x=2 \Rightarrow u=0\end{array}\right.$.

Suy ra $\int_0^2 f(2-x) \mathrm{d} x=\int_0^2 f(u) \mathrm{d} u=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$.

Thay vào $\left(^*\right)$, ta được $2 \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=4 \Leftrightarrow \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=2$. 

Dạng 10. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tính phân hàm ẩn 

Phương pháp giải:

Xuất phát từ đạo hàm hàm số tích, ta có: $[u(x) \cdot v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+v^{\prime}(x) \cdot \mathrm{u}(x)$

Lấy tích phân hai vế ta được:

$\begin{array}{r}\int_a^b[u(x) \cdot v(x)]^{\prime} \mathrm{d} x=\int_a^b\left[u^{\prime}(x) \cdot v(x)+v^{\prime}(x) \cdot u(x)\right] \mathrm{d} x \\\Leftrightarrow \int_a^b u(x) \mathrm{d}(v(x))=\left.u(x) v(x)\right|_a ^b-\int_a^b v(x) \mathrm{d}(u(x)) \\\text { Hay } \int_a^b u(x) \cdot v^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\left.u(x) v(x)\right|_a^b-\int_a^b v(x) \cdot u^{\prime}(x) \mathrm{d} x \end{array}$

Ví dụ minh họa:

Cho hai hàm số liên tục $f$ và $g$ có nguyên hàm lần lượt là $F$ và $G$ trên đoạn $[1 ; 2]$.Biết $F(1)=1, F(2)=4, G(1)=\frac{3}{2}, G(2)=2$ và $\int_1^2 f(x) G(x) \mathrm{d} x=\frac{67}{12}$. Tính $\int_1^2 F(x) g(x) \mathrm{d} x$

Lời giải

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=F(x) \\ \mathrm{d} v=g(x) \mathrm{d} x\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=f(x) \mathrm{d} x \\ v=G(x)\end{array}\right.\right.$

$\begin{aligned}\int_1^2 F(x) g(x) \mathrm{d} x & =F(2) G(2)-F(1) G(1)-\int_1^2 f(x) G(x) \mathrm{d} x \\& =\left.(F(x) G(x))\right|_1 ^2-\int_1^2 f(x) G(x) \mathrm{d} x=4.2-1 \cdot \frac{3}{2}-\frac{67}{12}=\frac{11}{12} .\end{aligned}$

Trên đây là toàn bộ công thức và các dạng bài tập trọng tâm về tích phân mà chúng mình được học trong chương trình toán 12. Hy vọng với các kiến thức này chúng mình sẽ tự tin hơn khi giải dạng bài tập tích phân nhé.