trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(-1,1), B(3,3) và đường thẳng d: 3x-4y+10=0.Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1, 1),B(3,3) và tiếp xúc với d.

Question

Accepted Answer

Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo

Để tìm được phương trình đường tròn (C) cần xác định tọa độ của tâm đường tròn và bán kính.
- Tìm tâm đường tròn:Gọi M là tâm đường tròn (C), ta có:OM−→−=OA−→−+OB−→−2
=(−1,1)+(3,3)2
=(1,2)OM→=OA→+OB→2=(−1,1)+(3,3)2=(1,2)
Vậy tâm đường tròn (C) có tọa độ là M(1,2).
- Tìm bán kính đường tròn:Gọi R là bán kính đường tròn (C), ta có:{RM⊥ABRM⊥d⇒RM là đường cao của tam giác OAB.{RM⊥ABRM⊥d⇒RM là đường cao của tam giác OAB.
Ta tính được độ dài đoạn thẳng AB:AB=(3−(−1))2+(3−1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=42–√AB=(3−(−1))2+(3−1)2=42
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác:SOAB=12
⋅AB⋅RM=12
⋅42–√⋅RMSOAB=12⋅AB⋅RM=12⋅42⋅RM
Mặt khác, ta có công thức tính diện tích tam giác bất kỳ:SOAB=12
⋅OA⋅OB⋅sinAOBˆSOAB=12⋅OA⋅OB⋅sin⁡AOB^
Với sinAOBˆ=1sin⁡AOB^=1 (vì OA⊥OBOA⊥OB), ta có:SOAB=12
⋅OA⋅OBSOAB=12⋅OA⋅OB
Từ đó suy ra:RM=OA⋅OBAB
=2
√⋅10
√⋅10
√42
√
=52
RM=OA⋅OBAB=2⋅10⋅1042=52
Vậy bán kính đường tròn (C) là R = RM = 5/2.
- Phương trình đường tròn (C):Kết hợp tâm và bán kính đã tìm được, ta có phương trình đường tròn (C) là:(x−1)2+(y−2)2=(52
)2(x−1)2+(y−2)2=(52)2

- Phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d:Để đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d, ta cần tìm điểm tiếp xúc của đường tròn (C) với d. Điểm tiếp xúc này nằm trên đường thẳng vuông góc với d và đi qua tâm đường tròn (C).Phương trình đường thẳng vuông góc với d và đi qua tâm đường tròn (C) là:4x+3y−10=04x+3y−10=0
Gọi I(x,y) là điểm tiếp xúc của đường tròn (C) với d, ta có hệ phương trình:{(x−1)2+(y−2)2=(52
)24x+3y−10=0{(x−1)2+(y−2)2=(52)24x+3y−10=0
Giải hệ phương trình này ta được tọa độ của điểm I:I(115
,25
)I(115,25)
Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là:(x−1)2+(y−2)2=(52
)2(x−1)2+(y−2)2=(52)2
và phương trình đường thẳng d là:$3x -