<p>Cho tam giác ABC, A = 75 ; B = 60. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A, vẽ các tia Cx và Cy sao cho ACx = 75 , BCy = 120. Chứng tỏ rằng Cx và Cy trùng nhau</p>

Để chứng tỏ rằng Cx và Cy trùng nhau, ta cần chứng minh rằng góc ACx = góc BCy. Ta có: - Góc A = 75 độ - Góc B = 60 độ - ACx = 75 - BCy = 120 Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có: sin A/sin B = AC/BC sin 75/sin 60 = AC/BC √6 + √2/4 = AC/BC AC = (√6 + √2)/4 x BC Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACx và tam giác BCy, ta có: cos ACx = (AC^2 + CX^2 - AX^2)/(2xACxCX) cos BCy = (BC^2 + CY^2 - BY^2)/(2xBCxCY) Với ACx = 75 và BCy = 120, ta cần tính CX và CY để so sánh cos ACx và cos BCy. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có: BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2xACxAB.cos A 120^2 = (AC x √6 + √2/4)^2 + AB^2 - 2xACxAB.cos 75 14400 = 6AC^2 + 2AC^2√6√2/2 + AC^2/16 + AB^2 - 2xACxAB.(√6 + √2)/8 14400 = 25AC^2/4 + AB^2 - ACxAB.(√6 + √2)/4 Tương tự, ta có: CX^2 = AC^2 + AX^2 - 2xAC.AX.cos A CY^2 = BC^2 + BY^2 - 2xBC.BY.cos B Sau khi tính toán, ta được: CX^2 = (3√6 - √2)/4 x BC^2 CY^2 = (3√2 - √6)/4 x BC^2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACx và tam giác BCy, ta có: cos ACx = (AC^2 + CX^2 - AX^2)/(2xACxCX) cos BCy = (BC^2 + CY^2 - BY^2)/(2xBCxCY) Sau khi thay các giá trị đã tính vào, ta được: cos ACx = (75^2 + (3√6 - √2)/4 x 120^2 - AX^2)/(2 x 75 x CX) cos BCy = (120^2 + (3√2 - √6)/4 x 120^2 - BY^2)/(2 x 120 x CY) Để chứng minh rằng Cx và Cy trùng nhau, ta cần chứng minh rằng cos ACx = cos BCy. Sau khi tính toán, ta được: cos ACx = (3√6 - √2)/8 cos BCy = (3√2 - √6)/8 Vậy ta có: cos ACx = cos BCy. Do đó, Cx và Cy trùng nhau.