cho x,y,z>0 thoả mãn điều kiện x+y+z =4.Chứng minh x+y lớn hơn hoặc bằng xyz

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM. Áp dụng AM-GM cho 3 số $x$, $y$, $\frac{z}{2}$, ta có: $\frac{x+y+\frac{z}{2}}{3} \geq \sqrt[3]{xy\cdot\frac{z}{2}}$ Tương đương với: $\frac{x+y+z}{6} \geq \sqrt[3]{\frac{xyz}{4}}$ Do $x+y+z=4$, ta có: $\frac{4}{6} \geq \sqrt[3]{\frac{xyz}{4}}$ Tương đương với: $\frac{2}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{xyz}{4}}$ Bình phương cả hai vế của bất đẳng thức, ta được: $\frac{4}{9} \geq \frac{xyz}{4}$ Tương đương với: $x+y \geq \frac{4xyz}{9}$ Vậy ta đã chứng minh được rằng $x+y \geq \frac{4xyz}{9}$ khi $x+y+z=4$.