Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để tìm đạo hàm bậc $n$ của hàm số $f(x)$, ta có thể sử dụng công thức đạo hàm của thương:
$(\frac{u}{v})^{(n)} = \frac{\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(-k)}}{v^{n+1}}$
Với $u=x^2$ và $v=-x+1$, ta có:
$f(x)=\frac{x^{2}}{-x+1} = \frac{u}{v}$
Áp dụng công thức đạo hàm của thương, ta tính được:
$f'(x) = \frac{(2x)(-x+1)-x^2(-1)}{(-x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(-x+1)^2}$
$f''(x) = \frac{(2x+2)(-x+1)^2 - 2(x^2+2x)(-x+1)(-1)}{(-x+1)^4} = \frac{2x^3-6x^2+2x+2}{(-x+1)^3}$
$f'''(x) = \frac{(6x^2-12x+2)(-x+1)^3 - 3(2x^3-6x^2+2x+2)(-x+1)^2(-1)}{(-x+1)^6} = \frac{6x^4-36x^3+66x^2-36x+6}{(-x+1)^4}$
Từ đây, ta có thể suy ra công thức đạo hàm bậc $n$ của $f(x)$:
$f^{(n)}(x) = \frac{P_n(x)}{(-x+1)^{n+1}}$
Với $P_n(x)$ là một đa thức bậc $n$ có dạng:
$P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k$
với $a_k$ được tính bằng công thức:
$a_k = \sum\limits_{j=k}^n (-1)^{j-k} \binom{j}{k} \binom{n}{j} j!$
Áp dụng công thức trên, ta tính được:
$a_{30} = \sum\limits_{j=30}^{30} (-1)^{j-30} \binom{j}{30} \binom{30}{j} j! = 30!$
Do đó:
$f^{(30)}(x) = \frac{30! x^{30}}{(-x+1)^{31}}$
Vậy đáp án là $\boxed{\textbf{(D)}}$.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.