Giải đề toán này

Đây là một bài toán khá dài và phức tạp, tôi sẽ cố gắng giải thích từng câu hỏi một cách chi tiết. Đề 2 Câu 1: a) Ta có thể áp dụng công thức l'Hôpital để tính giới hạn này: \begin{aligned} \lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{\sqrt{5x^2+4x+4}}{x+2} &= \lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{(10x+4)/2\sqrt{5x^2+4x+4}}{1}\\ &= \frac{-16}{2}=-8 \end{aligned} b) Để tính giới hạn này, ta cần chú ý rằng căn bậc hai trong biểu thức có thể được đưa về dạng phân số bằng cách nhân và chia cho căn bậc ba của mẫu số: \begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 4^{-}}(4-x)\sqrt{\frac{2x+1}{x^3-64}} &= \lim_{x\rightarrow 4^{-}}\frac{(4-x)(2x+1)}{\sqrt{(4-x)^2(x^3-64)}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 4^{-}}\frac{(2x+1)}{\sqrt{(x-4)^2(x^3-64)}}\\ &= \lim_{x\rightarrow 4^{-}}\frac{(2x+1)}{(x-4)\sqrt{x^3-64}}\\ &= \frac{9}{32} \end{aligned} c) Để tính giới hạn này, ta chỉ cần xét hệ số của số hạng có bậc lớn nhất trong đa thức: \begin{aligned} \lim_{x\rightarrow -\infty}(-2x^3+2x\sqrt{3x}-x+1) &= \lim_{x\rightarrow -\infty}-2x^3\\ &= -\infty \end{aligned} Câu 2: Để xác định tính liên tục của hàm số tại điểm $x_0=1$, ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại $x_0$ và giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $x_0$. Ta có: $y(1)=\sqrt{\frac{1-1^3}{1-1}}=\text{không xác định}$ Vì vậy, ta cần tính giới hạn sau: \begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 1}y(x)&=\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{\frac{1-x^3}{1-x}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{(1+x+x^2)}\\ &=\sqrt{3} \end{aligned} Vì giới hạn này tồn tại và khác giá trị của hàm số tại $x_0$, nên hàm số không liên tục tại $x_0=1$. Câu 3: a) Tính đạo hàm của hàm số $y=-2x^4+\frac{3}{2x^3}+\frac{3}{2}x^2$: $y'=-8x^3-\frac{9}{x^4}+3x$ b) Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{1+x-x^2}{1-x+x^2}$: $y'=\frac{2x(x-1)}{(1-x+x^2)^2}$ c) Tính đạo hàm của hàm số $y=(2-\frac{1}{x^2})^3$: $y'=\frac{6(2-\frac{1}{x^2})^2}{x^3}$ d) Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\sqrt{x^2+x+7}$: $f'(x)=\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{x^2+x+7}}$