hh hoomk l metric h

Câu 57: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 8n} - n + a^2)$ và xác định giá trị của $a$ sao cho giới hạn này bằng 0. Bước 1: Xét giới hạn của biểu thức $\sqrt{n^2 - 8n} - n$ khi $n \to \infty$. Ta có: \[ \sqrt{n^2 - 8n} - n = \left( \sqrt{n^2 - 8n} - n \right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 - 8n} + n}{\sqrt{n^2 - 8n} + n} = \frac{(n^2 - 8n) - n^2}{\sqrt{n^2 - 8n} + n} = \frac{-8n}{\sqrt{n^2 - 8n} + n} \] Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho $n$ để dễ dàng tính giới hạn: \[ \frac{-8n}{\sqrt{n^2 - 8n} + n} = \frac{-8}{\sqrt{1 - \frac{8}{n}} + 1} \] Khi $n \to \infty$, $\frac{8}{n} \to 0$, nên: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-8}{\sqrt{1 - \frac{8}{n}} + 1} = \frac{-8}{\sqrt{1 - 0} + 1} = \frac{-8}{2} = -4 \] Bước 3: Thêm $a^2$ vào biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 - 8n} - n + a^2) = -4 + a^2 \] Để giới hạn này bằng 0, ta cần: \[ -4 + a^2 = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2 \] Vậy có hai giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn điều kiện là $a = 2$ và $a = -2$. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 58: Để tìm giới hạn \( I = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + a + a^2 + \ldots + a^n}{1 + b + b^2 + \ldots + b^n} \) với \( |a| < 1 \) và \( |b| < 1 \), ta làm như sau: 1. Tìm tổng của dãy số: - Ta biết rằng tổng của dãy số lũy thừa \( 1 + a + a^2 + \ldots + a^n \) là: \[ S_a = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} \] - Tương tự, tổng của dãy số lũy thừa \( 1 + b + b^2 + \ldots + b^n \) là: \[ S_b = \frac{1 - b^{n+1}}{1 - b} \] 2. Thay vào biểu thức giới hạn: \[ I = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}}{\frac{1 - b^{n+1}}{1 - b}} \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ I = \lim_{n \to +\infty} \frac{(1 - a^{n+1})(1 - b)}{(1 - b^{n+1})(1 - a)} \] 4. Xét giới hạn của các lũy thừa: - Vì \( |a| < 1 \) và \( |b| < 1 \), khi \( n \to +\infty \), ta có \( a^{n+1} \to 0 \) và \( b^{n+1} \to 0 \). 5. Thay giới hạn vào biểu thức: \[ I = \frac{(1 - 0)(1 - b)}{(1 - 0)(1 - a)} = \frac{1 - b}{1 - a} \] Vậy, giới hạn \( I \) là: \[ \boxed{\frac{1 - b}{1 - a}} \] Đáp án đúng là: C. $\frac{1 - b}{1 - a}$ Câu 59: Để tính tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \), ta nhận thấy đây là một dãy số vô hạn với mỗi số hạng là một nửa của số hạng trước đó. Đây là một dãy số lũy thừa với công bội \( q = \frac{1}{2} \). Công thức tính tổng của một dãy số lũy thừa vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên và \( q \) là công bội của dãy số. Trong trường hợp này: - Số hạng đầu tiên \( a = 1 \) - Công bội \( q = \frac{1}{2} \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] Vậy tổng của dãy số \( S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \) là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 60: Trước hết, ta biết rằng tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là: \[ S = \frac{u_1}{1 - q} \] với \( |q| < 1 \). Theo đề bài, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 2: \[ \frac{u_1}{1 - q} = 2 \] Tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ u_1 + u_1q + u_1q^2 = \frac{9}{4} \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình đầu tiên: \[ u_1 = 2(1 - q) \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 2(1 - q) + 2(1 - q)q + 2(1 - q)q^2 = \frac{9}{4} \] Rút gọn: \[ 2(1 - q + q - q^2 + q^2 - q^3) = \frac{9}{4} \] \[ 2(1 - q^3) = \frac{9}{4} \] \[ 1 - q^3 = \frac{9}{8} \] \[ q^3 = 1 - \frac{9}{8} \] \[ q^3 = \frac{8}{8} - \frac{9}{8} \] \[ q^3 = -\frac{1}{8} \] \[ q = -\frac{1}{2} \] Thay \( q = -\frac{1}{2} \) vào phương trình \( u_1 = 2(1 - q) \): \[ u_1 = 2 \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) \] \[ u_1 = 2 \left(1 + \frac{1}{2}\right) \] \[ u_1 = 2 \times \frac{3}{2} \] \[ u_1 = 3 \] Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ u_1 = 3 \] Đáp án đúng là: A. \( u_1 = 3 \). Câu 61: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3n-7}{2n^2+3n-1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^2$ (vì đây là bậc cao nhất trong mẫu số): \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{3n-7}{n^2}}{\frac{2n^2+3n-1}{n^2}} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{3}{n}-\frac{7}{n^2}}{2+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}} \] Bước 2: Tính giới hạn của từng thành phần: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{3}{n}\right) = 0, \quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{7}{n^2}\right) = 0, \quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{3}{n}\right) = 0, \quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{n^2}\right) = 0 \] Bước 3: Thay các giới hạn này vào biểu thức: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{3}{n}-\frac{7}{n^2}}{2+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}} = \frac{0 - 0}{2 + 0 - 0} = \frac{0}{2} = 0 \] Vậy giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3n-7}{2n^2+3n-1} = 0 \] Đáp án đúng là: C. 0. Câu 62: Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{9n^2-n}-\sqrt{n+2}}{3n-2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{9n^2-n}-\sqrt{n+2}}{3n-2} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt{9n^2-n}-\sqrt{n+2})(\sqrt{9n^2-n}+\sqrt{n+2})}{(3n-2)(\sqrt{9n^2-n}+\sqrt{n+2})} \] Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ vào tử số: \[ = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(9n^2-n)-(n+2)}{(3n-2)(\sqrt{9n^2-n}+\sqrt{n+2})} \] \[ = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{9n^2 - n - n - 2}{(3n-2)(\sqrt{9n^2-n}+\sqrt{n+2})} \] \[ = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{9n^2 - 2n - 2}{(3n-2)(\sqrt{9n^2-n}+\sqrt{n+2})} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ để dễ dàng tìm giới hạn khi $n \to +\infty$: \[ = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{9n^2 - 2n - 2}{n^2}}{\frac{(3n-2)(\sqrt{9n^2-n}+\sqrt{n+2})}{n^2}} \] \[ = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{9 - \frac{2}{n} - \frac{2}{n^2}}{\left(3 - \frac{2}{n}\right)\left(\sqrt{9 - \frac{1}{n}} + \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}\right)} \] Bước 4: Tìm giới hạn của từng thành phần trong biểu thức: \[ = \frac{9 - 0 - 0}{(3 - 0)\left(\sqrt{9 - 0} + \sqrt{0 + 0}\right)} \] \[ = \frac{9}{3 \cdot (\sqrt{9} + 0)} \] \[ = \frac{9}{3 \cdot 3} \] \[ = \frac{9}{9} \] \[ = 1 \] Vậy giá trị của giới hạn là 1. Đáp án đúng là A. 1. Câu 63: Câu hỏi: Cho c là hằng số, k là một số nguyên dương. Quy tắc nào sau đây sai? A. $\lim_{x\rightarrow+\infty}c=c.$ B. $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x^k}=0.$ C. $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x^k}=+\infty.$ D. $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x^k}=0$. Câu trả lời: Ta sẽ kiểm tra từng quy tắc một: A. $\lim_{x\rightarrow+\infty}c=c.$ - Đây là quy tắc đúng vì giới hạn của một hằng số khi biến số tiến đến vô cùng vẫn là hằng số đó. B. $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x^k}=0.$ - Đây là quy tắc đúng vì khi $x$ tiến đến $+\infty$, $x^k$ cũng tiến đến $+\infty$ (với $k$ là số nguyên dương), do đó $\frac{1}{x^k}$ tiến đến 0. C. $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x^k}=+\infty.$ - Đây là quy tắc sai vì khi $x$ tiến đến $+\infty$, $x^k$ cũng tiến đến $+\infty$, do đó $\frac{1}{x^k}$ tiến đến 0, không phải $+\infty$. D. $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x^k}=0.$ - Đây là quy tắc đúng vì khi $x$ tiến đến $-\infty$, $x^k$ cũng tiến đến $-\infty$ hoặc $+\infty$ tùy thuộc vào tính chẵn lẻ của $k$, nhưng trong cả hai trường hợp, $\frac{1}{x^k}$ tiến đến 0. Vậy quy tắc sai là: C. $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x^k}=+\infty.$ Đáp án: C. Câu 64: Để tìm giới hạn của hàm số \(3f(x)\) khi \(x\) tiến đến 1, ta sử dụng tính chất của giới hạn: \[ \lim_{x \to 1} 3f(x) = 3 \cdot \lim_{x \to 1} f(x) \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 3 \] Do đó, ta thay giá trị này vào công thức trên: \[ \lim_{x \to 1} 3f(x) = 3 \cdot 3 = 9 \] Vậy đáp án đúng là: C. 9. Câu 65: Để tính giới hạn của tổng hai hàm số \( f(x) \) và \( g(x) \) khi \( x \) tiến đến \( x_0 \), ta sử dụng tính chất của giới hạn tổng của hai hàm số: \[ \lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x) \] Theo đề bài, ta có: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = 2 \] \[ \lim_{x \to x_0} g(x) = -3 \] Áp dụng tính chất trên, ta có: \[ \lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = 2 + (-3) = -1 \] Vậy đáp án đúng là: C. -1 Câu 66: Để tính giá trị của $\lim_{x\rightarrow1}(x+1)$, chúng ta sẽ thay giá trị giới hạn vào biểu thức. Bước 1: Thay \( x = 1 \) vào biểu thức \( x + 1 \). \[ \lim_{x\rightarrow1}(x+1) = 1 + 1 = 2 \] Vậy giá trị của $\lim_{x\rightarrow1}(x+1)$ là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 67: Để tính $\lim_{x\rightarrow2^-}\frac{1}{x-2}$, chúng ta sẽ xem xét giá trị của biểu thức $\frac{1}{x-2}$ khi $x$ tiến gần đến 2 từ phía bên trái (tức là $x < 2$). 1. Xác định giới hạn: - Khi $x$ tiến gần đến 2 từ phía bên trái, tức là $x$ nhỏ hơn 2 nhưng rất gần 2, thì $x - 2$ sẽ là một số âm rất nhỏ. - Do đó, $\frac{1}{x-2}$ sẽ là một số âm rất lớn (vì chia 1 cho một số âm rất nhỏ sẽ cho kết quả là một số âm rất lớn). 2. Kết luận: - Khi $x$ tiến gần đến 2 từ phía bên trái, $\frac{1}{x-2}$ tiến đến $-\infty$. Vậy $\lim_{x\rightarrow2^-}\frac{1}{x-2} = -\infty$. Đáp án đúng là: C. $-\infty$. Câu 68: Để tìm giới hạn của hàm số $\lim_{x\rightarrow-\infty}(x^2+x-1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét giới hạn của mỗi thành phần trong biểu thức: - $\lim_{x\rightarrow-\infty} x^2 = +\infty$ vì khi $x$ tiến đến $-\infty$, $x^2$ sẽ tiến đến $+\infty$. - $\lim_{x\rightarrow-\infty} x = -\infty$ vì khi $x$ tiến đến $-\infty$, $x$ cũng tiến đến $-\infty$. - $\lim_{x\rightarrow-\infty} (-1) = -1$ vì hằng số không thay đổi theo $x$. Bước 2: Kết hợp các giới hạn trên: - Khi $x$ tiến đến $-\infty$, $x^2$ tiến đến $+\infty$ nhanh hơn so với $x$ tiến đến $-\infty$. Do đó, $x^2$ sẽ chi phối giá trị của toàn bộ biểu thức. Do đó, $\lim_{x\rightarrow-\infty}(x^2+x-1) = +\infty$. Vậy đáp án đúng là A. $+\infty$. Câu 69: Để tính giới hạn \( L = \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x + 3} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Thay giá trị cận vào biểu thức: Ta thay \( x = 3 \) vào biểu thức: \[ \frac{3 - 3}{3 + 3} = \frac{0}{6} = 0 \] 2. Kết luận: Vì khi \( x \to 3 \), biểu thức \(\frac{x - 3}{x + 3}\) tiến đến 0, nên giới hạn của nó là 0. Do đó, đáp án đúng là: B. \( L = 0 \) Đáp số: B. \( L = 0 \)