giúpp e ạaaa d) Đô thị hàm so dối xung qua u....,Câu 15. Cho hàm số $y=\frac{x^2-x-3}{x-1}.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-1).$,,
b),Hàm số đạt cực đại tại $x=1.$,,
c),Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;0]$ tại $x=0.$,,
d),Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1.$,,

Question

giúpp e ạaaa d) Đô thị hàm so dối xung qua u....,Câu 15. Cho hàm số $y=\frac{x^2-x-3}{x-1}.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-1).$,,
b),Hàm số đạt cực đại tại $x=1.$,,
c),Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;0]$ tại $x=0.$,,
d),Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1.$,,

Accepted Answer

Câu 15.
Để giải quyết các mệnh đề về hàm số $y=\frac{x^2-x-3}{x-1}$, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết.

Mệnh đề a: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-1)$

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số:
$$ y' = \left( \frac{x^2 - x - 3}{x - 1} \right)' $$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
$$ y' = \frac{(x^2 - x - 3)'(x - 1) - (x^2 - x - 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $$
$$ y' = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x - 3)}{(x - 1)^2} $$
$$ y' = \frac{2x^2 - 2x - x + 1 - x^2 + x + 3}{(x - 1)^2} $$
$$ y' = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x - 1)^2} $$

Phân tích dấu của đạo hàm:
$$ y' = \frac{x^2 - 2x + 4}{(x - 1)^2} $$

Ta thấy rằng $(x - 1)^2$ luôn dương (trừ khi $x = 1$). Do đó, dấu của $y'$ phụ thuộc vào tử số $x^2 - 2x + 4$. Ta kiểm tra:
$$ x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3 $$

$(x - 1)^2$ luôn không âm và thêm 3 nữa nên $x^2 - 2x + 4$ luôn dương. Vậy $y' > 0$ trên toàn bộ miền xác định của hàm số, ngoại trừ điểm $x = 1$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.

Vậy mệnh đề a là sai vì hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 1)$, không phải nghịch biến.

Mệnh đề b: Hàm số đạt cực đại tại $x=1$

Do $y'$ luôn dương ngoại trừ điểm $x = 1$, hàm số không có cực đại hoặc cực tiểu tại $x = 1$.

Vậy mệnh đề b là sai.

Mệnh đề c: Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;0]$ tại $x=0$

Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và trong đoạn:
$$ y(-3) = \frac{(-3)^2 - (-3) - 3}{-3 - 1} = \frac{9 + 3 - 3}{-4} = \frac{9}{-4} = -\frac{9}{4} $$
$$ y(0) = \frac{0^2 - 0 - 3}{0 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3 $$

Vì $y(0) = 3$ lớn hơn $y(-3) = -\frac{9}{4}$, nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-3;0]$ là 3, đạt được tại $x = 0$.

Vậy mệnh đề c là đúng.

Mệnh đề d: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$

Đường tiệm cận đứng của hàm số là những giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0. Trong trường hợp này, mẫu số là $x - 1$, do đó $x = 1$ là đường tiệm cận đứng.

Vậy mệnh đề d là đúng.

Kết luận:
- Mệnh đề a: SAI
- Mệnh đề b: SAI
- Mệnh đề c: ĐÚNG
- Mệnh đề d: ĐÚNG