gấp

a) Ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$, suy ra $AB=3x$, $AC=4x$. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ABC$, ta có $BC^2=AB^2+AC^2$, suy ra $x=10$. Từ đó, ta tính được $AH=\frac{BC\cdot AC}{AB}=160$ và $BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=110$. b) Ta có $BD=AB\cdot\frac{AH}{AC}=36$, $CE=AC\cdot\frac{AH}{AB}=48$. Áp dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông $ABD$ và $ACE$, ta có: $BD^2=AH^2-AD^2$ $CE^2=AH^2-AE^2$ Cộng hai vế của hai phương trình trên, ta được: $BD^2+CE^2=2AH^2-(AD^2+AE^2)$ Tuy nhiên, ta có $AD+AE=BC=50$, do đó $AD^2+AE^2=2AD\cdot AE+AH^2=AH^2+\frac{1}{2}BC^2$. Thay vào phương trình trên, ta được: $BD^2+CE^2=2AH^2-\left(AH^2+\frac{1}{2}BC^2\right)=\frac{3}{2}BC^2$ Do đó, $AH^3=\frac{BC^2\cdot BD\cdot CE}{2}=\frac{1}{2}BC\cdot BD^2\cdot CE=\frac{1}{2}BC\cdot BD\cdot BC\cdot\frac{AH}{AC}\cdot BC\cdot\frac{AH}{AB}=BC\cdot BD\cdot CE$. c) Ta có $BD^2+CE^2=2\left(\frac{BD^2+CE^2}{2}\right)\geq 2BD\cdot CE$. Do đó: $BD^2+CE^2\geq 2BD\cdot CE=2\cdot 36\cdot 48=3456$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $BD^2+CE^2$ là $3456$, đạt được khi $BD=CE=6\sqrt{96}$.