Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
a) Ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$, suy ra $AB=3x$, $AC=4x$. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ABC$, ta có $BC^2=AB^2+AC^2$, suy ra $x=10$. Từ đó, ta tính được $AH=\frac{BC\cdot AC}{AB}=160$ và $BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=110$.
b) Ta có $BD=AB\cdot\frac{AH}{AC}=36$, $CE=AC\cdot\frac{AH}{AB}=48$. Áp dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông $ABD$ và $ACE$, ta có:
$BD^2=AH^2-AD^2$
$CE^2=AH^2-AE^2$
Cộng hai vế của hai phương trình trên, ta được:
$BD^2+CE^2=2AH^2-(AD^2+AE^2)$
Tuy nhiên, ta có $AD+AE=BC=50$, do đó $AD^2+AE^2=2AD\cdot AE+AH^2=AH^2+\frac{1}{2}BC^2$. Thay vào phương trình trên, ta được:
$BD^2+CE^2=2AH^2-\left(AH^2+\frac{1}{2}BC^2\right)=\frac{3}{2}BC^2$
Do đó, $AH^3=\frac{BC^2\cdot BD\cdot CE}{2}=\frac{1}{2}BC\cdot BD^2\cdot CE=\frac{1}{2}BC\cdot BD\cdot BC\cdot\frac{AH}{AC}\cdot BC\cdot\frac{AH}{AB}=BC\cdot BD\cdot CE$.
c) Ta có $BD^2+CE^2=2\left(\frac{BD^2+CE^2}{2}\right)\geq 2BD\cdot CE$. Do đó:
$BD^2+CE^2\geq 2BD\cdot CE=2\cdot 36\cdot 48=3456$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $BD^2+CE^2$ là $3456$, đạt được khi $BD=CE=6\sqrt{96}$.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.