Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến AB, AC và các tuyến ADE tới đường tròn. Gọi H là trung điểm của DE a) CM: 5 điểm A, B, H , O, C cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là g...

a) Ta có: - AB là tiếp tuyến nên góc AOB = 90 độ - AC là tiếp tuyến nên góc AOC = 90 độ - H là trung điểm của DE nên OH song song với DE và góc OHD = 90 độ Do đó, ta có: góc AOH = góc BOH = góc COH = 90 độ Vậy 5 điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có: - Gọi M là trung điểm của AB, ta có AM vuông góc AB và OM vuông góc AB - Gọi N là trung điểm của AC, ta có AN vuông góc AC và ON vuông góc AC - Do AB và AC là hai tiếp tuyến nên góc BAC = 90 độ - H là trung điểm của DE nên HD = HE Khi đó, ta có: - Góc AHB = góc AOB (cùng chắn cung AB trên đường tròn) - Góc AOC = góc ABC (cùng nằm trên đường tròn) - Góc ABC = góc AHB (cùng bù) Do đó, tam giác AHB đồng dạng với tam giác AOC Từ đó, ta có: AB/AC = AH/AO Mà AM = AN nên ta có: AB^2 - AC^2 = BM^2 - CN^2 Từ đó, ta suy ra: AB^2 = 2BM^2 + AH^2 - AO^2 Vì BM = MO nên ta có: AB^2 = 2OM^2 + AH^2 - AO^2 Mà OH song song với DE nên ta có: OM^2 = HD.HA Từ đó, ta suy ra: AB^2 = 2HD.HA + AH^2 - AO^2 Do đó, ta có: AB^2 = AI.AH c) Ta có: - Gọi K' là giao điểm của AE và đường tròn (O) - Ta cần chứng minh K' trùng với K - Áp dụng định lí Pappus cho hai đường thẳng BH và AC cắt nhau tại D và I, ta có: E, K', C thẳng hàng - Do đó, ta có AE // CK' (vì hai đường thẳng này đều vuông góc với BC) - Nhưng AE // CK' thì K' trùng với K (vì K là giao điểm của BH và đường tròn (O)) Vậy ta đã chứng minh được AE // CK.