Cho đường thẳng ( O,R) và dây cung BC cố định ( BC

Question

Cho đường thẳng ( O,R) và dây cung BC cố định ( BC <2R). Điểm A di động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 2 góc nhọn và AB<AC. Vẽ đường cao CD của tam giác ABC và đường kính AM. Hạ CE vuông góc AM tại E. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
1/ Chứng minh tứ giác ADEC nội tiếp
2/ Chứng minh góc ABH = góc DEA và DE.BC=DC.BM

Accepted Answer

1/ Ta có:
- Góc AHB = 90 độ (H là trực tâm tam giác ABC)
- Góc ACD = 90 độ (đường cao CD của tam giác ABC)
Vậy tứ giác ACHB là tứ giác nội tiếp, do đó góc AHB = góc ACD.
Tương tự, ta có góc AHC = góc ABD.
Mà góc AHB + góc AHC = 180 độ (tổng hai góc đối diện trong tứ giác nội tiếp), nên góc ACD + góc ABD = 180 độ.
Do đó tứ giác ADEC nội tiếp.

2/ Ta có:
- Góc ABH = góc ACD (vì tứ giác ACHB nội tiếp)
- Góc DEA = góc ACD (vì tứ giác ADEC nội tiếp)
Vậy góc ABH = góc DEA.
Gọi I là giao điểm của DE và AB. Ta có:
- Tam giác AIB đồng dạng với tam giác CDM (do có hai góc bằng nhau và góc giữa bằng nhau)
- Vậy AI/CD = AB/CM = IB/DM
- Mà AI = AM - IM, CM = CD + DM
- Vậy (AM - IM)/(CD + DM) = AB/CM = IB/DM
- Tương đương với (AM - IM)*DM = AB*(CD + DM)*IB
- Tương đương với DE*DM = AB*CD
- Tương đương với DE.BC = DC.BM
Vậy DE.BC = DC.BM và góc ABH = góc DEA.