Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC). Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng: a, AEHD là hình chữ nhật b, Tam giác ABH đồng dạng với tam giác A...

a, Ta có AH là đường cao của tam giác ABC nên AH^2 = BH.HC. Mà ta có DH là đường cao của tam giác ABD nên DH^2 = BH.DA và EH là đường cao của tam giác AEC nên EH^2 = CH.AE. Từ đó suy ra: AH^2 = DH^2 + AD^2 và AH^2 = EH^2 + EC^2 Do đó, ta có: DH^2 + AD^2 = EH^2 + EC^2 Mà ta lại có: AD = AE (vì AE là đường cao của tam giác ABD) Vậy DH^2 = EH^2 + EC^2 - AE^2 Như vậy, ta có: AEHD là hình chữ nhật. b, Ta có: $$ (vì cả hai đều bằng $$) Ta cũng có: $$ (vì cả hai đều bằng $$) Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác AHD. c, Ta có: $$ (vì $$) Mà ta lại có: $$ Từ đó suy ra: $$ Do đó: $$ Nhưng ta cũng có: $$ (vì AE là đường cao của tam giác ABD) Từ đó suy ra: $$ Mà ta lại có: $$ (vì AD là đường cao của tam giác ABD) Từ đó suy ra: $$ Nhưng ta cũng có: $$ Do đó: $$ Từ đó suy ra: $$ Thay vào công thức trên, ta được: $$ Từ đó suy ra: $$ Vậy: $$ d, Ta có: $$ (vì $$) Ta cũng có: $$ (vì $$) Do đó, tam giác DMB đồng dạng với tam giác ECM.