Chứng minh rằng: phương trình -x2+6x+3=0 có nghiệm nằm trong khoảng (2,0)
Phương trình,-2x3+6x2-1 =0 có nghiệm nằm trong khoảng (1,0)
Phương trình x3+x2-3=0 có nghiệm nằm trong khoảng (-2,2)
Phương trình x3+2x-5=0 có nghiệm nằm trong khoảng (0,2)

Question

Chứng minh rằng: phương trình -x2+6x+3=0 có nghiệm nằm trong khoảng (2,0) 
Phương trình,-2x3+6x2-1 =0 có nghiệm nằm trong khoảng (1,0)
Phương trình x3+x2-3=0 có nghiệm nằm trong khoảng (-2,2)
Phương trình x3+2x-5=0 có nghiệm nằm trong khoảng (0,2)

Accepted Answer

Để chứng minh rằng một phương trình có nghiệm nằm trong một khoảng, ta cần sử dụng định lý giá trị trung bình của Bolzano.

Định lý giá trị trung bình của Bolzano: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và có giá trị khác nhau tại hai đầu mút của đoạn đó, tức là f(a) và f(b) có dấu khác nhau, thì tồn tại ít nhất một điểm c trong đoạn (a,b) sao cho f(c) = 0.

Áp dụng định lý này vào từng phương trình:

1. Phương trình -x^2 + 6x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 được tính bằng công thức sau:

x1 = (-6 + sqrt(36 - 4(-1)3)) / (2*(-1)) = 3 - sqrt(6)

x2 = (-6 - sqrt(36 - 4(-1)3)) / (2*(-1)) = 3 + sqrt(6)

Ta thấy rằng x1 < 2 và x2 > 0. Vì vậy, theo định lý giá trị trung bình của Bolzano, phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (2,0).

2. Phương trình -2x^3 + 6x^2 - 1 = 0 có ba nghiệm x1, x2 và x3 được tính bằng công thức sau:

x1 = (1/6)(3 + sqrt(21) + sqrt(3)sqrt(14 - 2*sqrt(21)))

x2 = (1/6)(3 + sqrt(21) - sqrt(3)sqrt(14 - 2*sqrt(21)))

x3 = (1/3)*(3 - sqrt(21))

Ta thấy rằng x1 < 1 và x3 > 0. Vì vậy, theo định lý giá trị trung bình của Bolzano, phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (1,0).

3. Phương trình x^3 + x^2 - 3 = 0 có ba nghiệm x1, x2 và x3 được tính bằng công thức sau:

x1 = sqrt(3) - 1

x2 = -sqrt(3) - 1

x3 = 1

Ta thấy rằng x1 > -2 và x2 < 2. Vì vậy, theo định lý giá trị trung bình của Bolzano, phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (-2,2).

4. Phương trình x^3 + 2x - 5 = 0 có ba nghiệm x1, x2 và x3 được tính bằng công thức sau:

x1 = (1/3)(sqrt(21)sin(1/3*arccos(5/2/sqrt(21))) - 2)

x2 = (1/3)(sqrt(21)sin(1/3arccos(5/2/sqrt(21)) + 2pi/3) - 2)

x3 = (1/3)(sqrt(21)sin(1/3arccos(5/2/sqrt(21)) + 4pi/3) - 2)

Ta thấy rằng x1 > 0 và x2 < 2. Vì vậy, theo định lý giá trị trung bình của Bolzano, phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (0,2).