<p>Cho hình vuông S có độ dài cạnh là 100. L là một đường gấp khúc không tự cắt tạo thành từ các đoạn thẳng A0A1, A1A2…, A(n-1)An với A0 ≠ An. Giả sử với mỗi điểm P nằm trên chu vi của S đều tồn tại mộ...

Ta chia hình vuông S thành 4 hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có độ dài cạnh là 50. Gọi L1, L2, L3, L4 lần lượt là các đoạn thẳng của đường gấp khúc L nằm trên các cạnh của 4 hình vuông này. Ta sẽ chứng minh rằng trong 4 đoạn thẳng L1, L2, L3, L4, ít nhất hai đoạn thẳng có khoảng cách không vượt quá 1/2. Giả sử ngược lại, tức là khoảng cách giữa mỗi cặp đoạn thẳng trong số L1, L2, L3, L4 đều lớn hơn 1/2. Khi đó, ta có thể chọn một điểm trên chu vi của S sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đoạn thẳng trong số L1, L2, L3, L4 đều lớn hơn 1/2. Như vậy, không tồn tại điểm trên chu vi của S thỏa mãn yêu cầu đề bài, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Do đó, ít nhất hai đoạn thẳng trong số L1, L2, L3, L4 có khoảng cách không vượt quá 1/2. Gọi X và Y lần lượt là hai điểm kết thúc của hai đoạn thẳng này. Ta sẽ chứng minh rằng khoảng cách giữa X và Y không vượt quá 1 và độ dài đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198. Gọi d là khoảng cách giữa X và Y. Ta sẽ chứng minh rằng d ≤ 1. Giả sử ngược lại, tức là d > 1. Khi đó, ta có thể chọn một điểm P trên chu vi của S sao cho khoảng cách từ P đến đường thẳng XY lớn hơn 1/2. Như vậy, không tồn tại điểm thuộc L cách P không quá 1/2, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Do đó, d ≤ 1. Ta sẽ chứng minh rằng độ dài đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198. Gọi L' là đoạn thẳng nối X và Y. Ta sẽ chứng minh rằng độ dài của đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn độ dài của đoạn thẳng L'. Gọi Z là một điểm trên đường gấp khúc L nằm giữa X và Y. Ta sẽ chứng minh rằng độ dài của đoạn thẳng LZ không nhỏ hơn độ dài của đoạn thẳng L'. Gọi A và B lần lượt là các điểm trên đường gấp khúc L' sao cho AZ và BZ vuông góc với L'. Khi đó, ta có AZ = BZ = d/2 và AB = d. Gọi C và D lần lượt là các điểm trên đường gấp khúc L sao cho CZ và DZ vuông góc với L. Khi đó, ta có CZ ≤ AZ và DZ ≤ BZ, do đó CZ + DZ ≤ AZ + BZ = d. Do đó, độ dài của đoạn thẳng LZ không nhỏ hơn CZ + DZ ≤