Câu 6: Cho $\Delta ABC$ có $A\left(1;-3\right),B\left(2;1\right),C\left(3;-2\right).$ a, viết phương trình tổng quát đường cao $AH$ của $\Delta ABC.$ b, viết phương trình tổng quát của cạnh $AB.$

Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Viết phương trình tổng quát đường cao \( AH \) của \(\Delta ABC\). Đường cao \( AH \) là đường thẳng đi qua điểm \( A(1, -3) \) và vuông góc với cạnh \( BC \). Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng \( BC \). Điểm \( B(2, 1) \) và điểm \( C(3, -2) \). Hệ số góc của đường thẳng \( BC \) được tính bằng: \[ m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-2 - 1}{3 - 2} = \frac{-3}{1} = -3 \] Phương trình đường thẳng \( BC \) có dạng: \[ y - y_B = m_{BC}(x - x_B) \] Thay \( B(2, 1) \) và \( m_{BC} = -3 \) vào, ta có: \[ y - 1 = -3(x - 2) \] \[ y - 1 = -3x + 6 \] \[ y = -3x + 7 \] Bước 2: Tìm phương trình đường cao \( AH \). Vì \( AH \) vuông góc với \( BC \), nên hệ số góc của \( AH \) là: \[ m_{AH} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3} \] Phương trình đường thẳng \( AH \) có dạng: \[ y - y_A = m_{AH}(x - x_A) \] Thay \( A(1, -3) \) và \( m_{AH} = \frac{1}{3} \) vào, ta có: \[ y + 3 = \frac{1}{3}(x - 1) \] \[ y + 3 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} \] \[ y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} - 3 \] \[ y = \frac{1}{3}x - \frac{10}{3} \] Vậy phương trình tổng quát của đường cao \( AH \) là: \[ y = \frac{1}{3}x - \frac{10}{3} \] b) Viết phương trình tổng quát của cạnh \( AB \). Bước 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng \( AB \). Hệ số góc của đường thẳng \( AB \) được tính bằng: \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - (-3)}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4 \] Bước 2: Viết phương trình đường thẳng \( AB \). Phương trình đường thẳng \( AB \) có dạng: \[ y - y_A = m_{AB}(x - x_A) \] Thay \( A(1, -3) \) và \( m_{AB} = 4 \) vào, ta có: \[ y + 3 = 4(x - 1) \] \[ y + 3 = 4x - 4 \] \[ y = 4x - 4 - 3 \] \[ y = 4x - 7 \] Vậy phương trình tổng quát của cạnh \( AB \) là: \[ y = 4x - 7 \]