Cho hình bình hành ABCD, gọi giao điểm của AC và BD là O, F là trung điểm OB, E là trung điểm OD, G là giao điểm của AE và CD. CM a)GC=2DG b)CF=3GE

a) Ta có thể sử dụng định lí Menelaus để chứng minh rằng GC=2DG. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AOD và đường thẳng cắt AC tại G, ta có: $\frac{AG}{GD} \cdot \frac{DO}{OF} \cdot \frac{FC}{CA} = 1$ Do F là trung điểm của OB và E là trung điểm của OD nên ta có OF=FE và DO=OC. Thay vào phương trình trên ta được: $\frac{AG}{GD} \cdot \frac{OC}{FE} \cdot \frac{FC}{CA} = 1$ Vì E là trung điểm của OD nên OC=2OE. Từ đó suy ra: $\frac{AG}{GD} \cdot \frac{FC}{CA} = \frac{1}{2}$ Tuy nhiên, ta cũng có thể sử dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh rằng GC=2DG. Vì hình bình hành nên OB=OD và AC=BD. Do F và E lần lượt là trung điểm của OB và OD nên ta có FE=OB/2 và EC=OD/2. Từ đó suy ra GC=AC-AG=BD-DG=2DG. b) Ta cũng có thể sử dụng định lí Menelaus để chứng minh rằng CF=3GE. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AOD và đường thẳng cắt AC tại G, ta có: $\frac{AG}{GD} \cdot \frac{DO}{OF} \cdot \frac{FC}{CA} = 1$ Do F là trung điểm của OB và E là trung điểm của OD nên ta có OF=FE và DO=OC. Thay vào phương trình trên ta được: $\frac{AG}{GD} \cdot \frac{OC}{FE} \cdot \frac{FC}{CA} = 1$ Vì E là trung điểm của OD nên OC=2OE. Từ đó suy ra: $\frac{AG}{GD} \cdot \frac{FC}{CA} = \frac{1}{2}$ Tương tự như phần a), ta có FE=OB/2 và EC=OD/2. Từ đó suy ra CF=AC-AF-FC=BD-BE-FC=3GE.