Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=1/4x^4−2x^3−mx có ba điểm cực trị? A 31 B 30 C 33 D 32

Để hàm số có ba điểm cực trị, đạo hàm của nó phải có ba nghiệm. Ta tính đạo hàm của hàm số: y' = x^3 - 6x^2 Để tìm nghiệm của đạo hàm, ta giải phương trình: x^3 - 6x^2 = 0 x^2(x-6) = 0 Vậy ta có ba nghiệm là x=0, x=6 và x=0 (nghiệm kép). Để đảm bảo rằng các điểm cực trị là cực đại hay cực tiểu, ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm trên các khoảng giá trị của x giữa các nghiệm. Kết quả là: - Khi x<0, y' < 0, nghĩa là hàm số đang giảm trên khoảng này. - Khi 0<x<6,> 0, nghĩa là hàm số đang tăng trên khoảng này. - Khi x>6, y' < 0, nghĩa là hàm số đang giảm trên khoảng này. Vậy ta có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Để tìm giá trị nguyên của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị, ta cần tìm giá trị của m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành ba lần. Điều này xảy ra khi và chỉ khi: 1/4x^4 - 2x^3 - mx = 0 Khi x=0, ta có -m=0, nghĩa là m=0. Khi x khác 0, ta chia cả hai vế của phương trình cho x^4 và đặt t = 1/x, ta được: 1/4 - 2t + mt^4 = 0 Đây là một phương trình bậc tư, nó có tối đa bốn nghiệm. Tuy nhiên, ta chỉ quan tâm đến các nghiệm dương của t, vì chúng tương ứng với các giá trị dương của x. Ta sẽ kiểm tra số lượng nghiệm dương của phương trình này với từng giá trị của m. - Khi m=0, phương trình trở thành 1/4 - 2t = 0, có một nghiệm dương là t=1/8. - Khi m<0, phương trình luôn có đúng một nghiệm dương, do đó không thể cắt trục hoành ba lần. - Khi m>0, phương trình có tối đa bốn nghiệm dương. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho số lượng nghiệm dương của phương trình này là ba. Để làm điều này, ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm dương. Khi đó, phương trình sẽ có hai nghiệm âm và một nghiệm dương, do đó đồ thị hàm số sẽ cắt trục hoành ba lần. Giải phương trình: mt^4 - 2t + 1/4 = 0 Đây là một phương trình bậc tư, ta sẽ giải bằng cách sử dụng định lý Viète và kiểm tra điều kiện để phương trình có đúng hai nghiệm dương. Ta được: - Tổng các nghiệm là 0: 0 + r1 + r2 + r3 = 0 => r1 + r2 + r3 = 0. - Nhân các nghiệm là 1/4: r1r2r3 = 1/4. - Để phương trình có đúng hai nghiệm dương, ta cần có hai nghiệm âm và hai nghiệm dương. Điều này xảy ra khi và chỉ khi r1 và r2 cùng dấu và r3 < 0, hoặc r1 và r2 khác dấu và r3 > 0. Ta giải phương trình bậc ba tương ứng với r1 + r2 + r3 = 0 và r1r2r3 = 1/4, ta được: - r1 = -2/3 + (2/3)√(3m+1) - r2 = -2/3 - (2/3)√(3m+1) - r3 = 1/2√(3m+1) Để phương trình có đúng hai nghiệm dương, ta cần có hai nghiệm âm và hai nghiệm dương. Điều này xảy ra khi và chỉ khi r1 và r2 cùng dấu và r3 < 0, hoặc r1 và r2 khác dấu và r3 > 0. Ta kiểm tra từng trường hợp: - Khi r1 và r2 cùng dấu, ta có: -2/3 + (2/3)√(3m+1) < 0 và -2/3 - (2/3)√(3m+1) < 0 <=> m > 31/27 - Khi r1 và r2 khác dấu, ta có: -2/3 + (2/3)√(3m+1) > 0 và -2/3 - (2/3)√(3m+1) > 0 <=> m < -1/3 Vậy giá trị nguyên của m thỏa mãn là: -1, 0, 1, ..., 31, tức là có 32 giá trị. Vì vậy, đáp án là D.