đạo hàm đi qua một điểm không xác định thì có đổi dấu không vd f'(x)=1/x đổi dấu khi qua x=0 không và khác gì vs 1/x² không

Nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại một điểm $x_0$, thì đạo hàm tại điểm đó có thể không xác định, tức là không có giá trị cụ thể. Trong trường hợp này, ta nói đạo hàm tại điểm đó không tồn tại.

Ví dụ với hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$, đạo hàm của nó là $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$. Đạo hàm này không tồn tại tại điểm $x_0 = 0$, vì khi tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$, ta thu được $\lim_{x \to 0} \frac{1/x - 1/0}{x - 0} = \pm \infty$, phụ thuộc vào chiều tiến gần điểm $0$ từ bên trái hay bên phải.

Vì vậy, ta nói đạo hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$ không xác định tại điểm $x_0 = 0$.

Tương tự, đạo hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{x^2}$ là $g'(x) = -\frac{2}{x^3}$, cũng không tồn tại tại điểm $x_0 = 0$. Tuy nhiên, đạo hàm này có giá trị cụ thể tại các điểm khác của miền xác định của $g(x)$.

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng việc đạo hàm qua một điểm không xác định có thể dẫn đến việc đạo hàm không tồn tại hoặc có giá trị cụ thể tùy thuộc vào hàm số.