Xác định n nguyên dương (n≥3) sao cho số A = 1.2.3...n (tích của n số nguyên dương dầu tiên ) chia hết cho B = 1+2+....+n

Ta có thể sử dụng công thức tổng của dãy số để tính tổng B như sau:

B = 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2

Để A chia hết cho B, ta cần tìm một số nguyên dương n sao cho A chia hết cho B. Ta có thể viết A dưới dạng:

A = n!

Do đó, điều kiện A chia hết cho B tương đương với n! chia hết cho n(n+1)/2, hay:

n! chia hết cho n(n+1)/2

Từ đây, ta có thể suy ra một số giới hạn về giá trị của n. Trước hết, ta chú ý rằng n(n+1)/2 là một số nguyên khi và chỉ khi n là số lẻ hoặc n+1 là số chẵn. Nếu n là số lẻ, ta có:

n! = 1 x 2 x … x n chia hết cho n(n-1)(n-2)…3.2.1

Do đó, n! chia hết cho (n-1)! và chia hết cho 2^(n/2). Vì n(n+1)/2 là số nguyên lẻ, ta cần phải có ít nhất một thừa số lẻ trong phân tích thừa số nguyên tố của n(n+1)/2. Tuy nhiên, vì n là số lẻ, n-1 và n+1 đều là số chẵn, do đó (n-1)! chia hết cho 2^(n/2-1). Kết hợp hai kết quả trên, ta có:

n! chia hết cho 2^(n/2) x 2^(n/2-1) = 2^(n-1)

Tương tự, nếu n+1 là số chẵn, ta có:

n! = 1 x 2 x … x n chia hết cho n(n-1)(n-2)…4.3.2

Do đó, n! chia hết cho (n-1)! và chia hết cho 2^(n/2-1). Vì n(n+1)/2 là số chẵn, ta cần phải có ít nhất hai thừa số 2 trong phân tích thừa số nguyên tố của n(n+1)/2. Tuy nhiên, vì n+1 là số chẵn, n và n-1 đều là số lẻ, do đó (n-1)! chia hết cho 2^(n/2-1). Kết hợp hai kết quả trên, ta có:

n! chia hết cho 2^(n/2-1) x 2^n = 2^(2n-1)

Vậy để A chia hết cho B, ta cần tìm một số nguyên dương n sao cho n(n+1)/2 là số lẻ hoặc n+1 là số chẵn và n≥3. Từ đó, ta có thể suy ra một số giá trị của n như sau:

Nếu n là số lẻ, thì n(n+1)/2 là số lẻ khi và chỉ khi n+1 là số chẵn. Ví dụ: n=3, 5, 7, 9, 11, …

Nếu n là số chẵn, thì n(n+1)/2 là số lẻ khi và chỉ khi n là số lẻ. Ví dụ: n=4, 6, 8, 10, …