Chứng minh BĐT Holder băng cách dùng bđt AM-GM chi tiết

BĐT Holder là một bất đẳng thức cho phép tính tích của hai chuỗi số. Nó được phát biểu như sau: Cho $$ và $$ là các số thực dương và $$ là các số thực sao cho $$. Khi đó ta có: $$ Để chứng minh bất đẳng thức này bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta sẽ làm như sau: Ta có: $$ Ở đây, ta đã sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho từng cặp $$ và $$. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng $$. Để làm điều này, ta sử dụng bất đẳng thức Minkowski: $$ Ở đây, ta đã sử dụng rằng $$, nên $$ và $$. Áp dụng bất đẳng thức Holder cho $$ và $$ với các hệ số $$ và $$, ta có: $$ Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta có: $$ Do đó, ta có: $$ Lấy cả hai vế của bất đẳng thức trên lên một lũy thừa $$, ta được: $$ Do $$, ta có $$, nên ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng: $$ Đây chính là bất đẳng thức Holder.