Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý chia dư của Euclid. Theo đó, nếu một đa thức bậc chia hết cho thì phép chia đó sẽ cho ta một đa thức bậc và một số dư là giá trị của đa thức tại .
Áp dụng định lý này vào bài toán, ta có:
- Đa thức bậc 5 chia hết cho và , do đó ta có thể viết dưới dạng:
Trong đó là một đa thức bậc 3.
- Khi chia cho , ta được số dư là . Điều này có nghĩa là . Tương tự, khi chia cho , ta được số dư là , khi chia cho , ta được số dư là , và khi chia cho , ta được số dư là .
- Ta có thể sử dụng các giá trị này để tìm các nghiệm của . Theo định lý Viète, nếu là các nghiệm của thì ta có:
Trong đó là hệ số của trong , là hệ số của , là hệ số của , và là hệ số tự do.
Áp dụng công thức này vào bài toán, ta có:
- Ta biết là một đa thức bậc 3, do đó .
- Từ phương trình , ta có và . Do đó:
- Từ giá trị của số dư khi chia cho , , , và , ta có:
- Giải hệ phương trình này, ta tìm được các giá trị của , , , và . Sau đó, ta tính được các nghiệm của bằng cách giải phương trình .
- Cuối cùng, ta tính tổng bằng cách sử dụng công thức:
Trong đó , , là các nghiệm của .