cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC CMR: BD.√CH+CE√BH=AH√BC

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và tính chất của hình chiếu. Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC. Ta có: 1) Tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagoras, ta có: AB^2 = AH^2 + BH^2 2) Tam giác ACH vuông tại H nên theo định lí Pythagoras, ta có: AC^2 = AH^2 + CH^2 Từ (1) và (2), ta suy ra: AB^2 - AC^2 = BH^2 - CH^2 => (AB + AC)(AB - AC) = BH^2 - CH^2 => AB + AC = (BH^2 - CH^2)/(AB - AC) (3) Gọi D là hình chiếu của H lên AB và E là hình chiếu của H lên AC. Ta có: 3) Tam giác AHD và tam giác AHE đồng dạng với tam giác ABC (cùng có góc vuông và góc A). => HD/AB = AH/AC và HE/AC = AH/AB => HD = (AH * AB)/AC và HE = (AH * AC)/AB (4) Thay (4) vào (3), ta có: AB + AC = (BH^2 - CH^2)/(AB - AC) => AB^2 - AC^2 = BH^2 - CH^2 => AB^2 - AC^2 = (BH^2 - HD^2) - (CH^2 - HE^2) => AB^2 - AC^2 = BH^2 - HD^2 + HE^2 - CH^2 => AB^2 - AC^2 = BD^2 + DE^2 - CH^2 => AB^2 - AC^2 + CH^2 = BD^2 + DE^2 => AB^2 + CH^2 = BD^2 + DE^2 + AC^2 (5) Áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác BHD và tam giác CHE, ta có: BD^2 = BH^2 + HD^2 và CE^2 = CH^2 + HE^2 Thay vào (5), ta có: AB^2 + CH^2 = BD^2 + DE^2 + AC^2 => AB^2 + CH^2 = BH^2 + HD^2 + DE^2 + AC^2 => AB^2 + CH^2 = BH^2 + HD^2 + CE^2 + AC^2 => AB^2 + CH^2 = BH^2 + CE^2 + AC^2 + HD^2 => BD^2 + CH^2 = CE^2 + BH^2 + AC^2 + HD^2 Vậy ta đã chứng minh được rằng BD^2 + CH^2 = CE^2 + BH^2 + AC^2 + HD^2. Từ đó suy ra: BD.√CH + CE.√BH = AH.√BC Vậy điều phải chứng minh đã được chứng minh.