Biết sin x + cos x = m a) tìm sinx. Cosx và |sin4x – cos4x| b)chứng minh rằng |m| ≤ √2

a) Để tìm sinx và cosx, ta có thể sử dụng công thức Pythagoras: sin^2x + cos^2x = 1. Từ đó, ta có: sin^2x + cos^2x + 2sinxcosx = 1 + 2sinxcosx = 1 sinxcosx = (1 - 1)/2 = 0 Vì vậy, sinx = 0 hoặc cosx = 0. Nếu sinx = 0, thì cosx = m. Nếu cosx = 0, thì sinx = m. Để tính |sin4x – cos4x|, ta có thể sử dụng công thức nhân bình phương: sin^2(2x) = (1 - cos(4x))/2 cos^2(2x) = (1 + cos(4x))/2 Từ đó, ta có: sin4x = 2sin(2x)cos(2x) = 2(1 - cos(4x))/2 * (1 + cos(4x))/2 = (1 - cos^2(4x))/2 cos4x = cos^2(2x) - sin^2(2x) = (1 + cos(4x))/2 - (1 - cos(4x))/2 = (1 + cos^2(4x))/2 Vậy, |sin4x – cos4x| = |(1 - cos^2(4x))/2 - (1 + cos^2(4x))/2| = |-2cos^2(4x)/2| = |cos^2(4x)| = cos^2(4x) b) Để chứng minh rằng |m| ≤ √2, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: (m^2 + 1)(1 + 1) ≥ (m + 1)^2 2(m^2 + 1) ≥ (m + 1)^2 2m^2 + 2 ≥ m^2 + 2m + 1 m^2 - 2m + 1 ≤ 0 (m - 1)^2 ≤ 0 Vì (m - 1)^2 luôn không âm, nên ta có (m - 1)^2 = 0 Từ đó, ta có m - 1 = 0 hoặc m = 1 Vậy, |m| ≤ √2.