Cho 11 số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn 50. chứng minh rằng tồn tại bốn số có tổng mà tổng của hai số bằng tổng của hai số còn lại. hoặc tồn tại ba số mà tổng của hai số gấp số còn lại. ( CM theo nguy...

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet về phân hoạch. Giả sử có 11 số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn 50. Ta sẽ xem xét các tổng của hai số trong tập này. Có tổng cộng C(11,2) = 55 cặp số. Vì số lượng cặp số là lớn hơn số lượng số nguyên dương nhỏ hơn 50 (tức là 49), nên theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất hai cặp số sẽ có cùng tổng. Giả sử có hai cặp số (a, b) và (c, d) có cùng tổng. Ta có: a + b = c + d Từ đó suy ra: a - c = d - b Điều này có nghĩa là hiệu giữa hai số trong cặp (a, c) bằng hiệu giữa hai số trong cặp (b, d). Vì các số trong tập ban đầu là khác nhau, nên các cặp số (a, c) và (b, d) cũng khác nhau. Do đó, ta đã tìm thấy bốn số có tổng mà tổng của hai số bằng tổng của hai số còn lại. Nếu không tồn tại bốn số như vậy, tức là tất cả các cặp số có tổng khác nhau. Trong trường hợp này, ta sẽ xem xét các tổng của ba số trong tập ban đầu. Có tổng cộng C(11,3) = 165 cách chọn ba số từ tập này. Vì số lượng cách chọn ba số là lớn hơn số lượng số nguyên dương nhỏ hơn 50 (tức là 49), nên theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất hai cách chọn ba số sẽ có cùng tổng. Giả sử có hai cách chọn ba số có cùng tổng. Ta có: a + b + c = d + e + f Từ đó suy ra: (a - d) + (b - e) + (c - f) = 0 Điều này có nghĩa là tổng của ba hiệu giữa các số trong cách chọn thứ nhất bằng tổng của ba hiệu giữa các số trong cách chọn thứ hai. Vì các số trong tập ban đầu là khác nhau, nên các cách chọn ba số (a, b, c) và (d, e, f) cũng khác nhau. Do đó, ta đã tìm thấy ba số mà tổng của hai số gấp số còn lại. Vậy, ta đã chứng minh được rằng trong tập 11 số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn 50, tồn tại bốn số có tổng mà tổng của hai số bằng tổng của hai số còn lại hoặc tồn tại ba số mà tổng của hai số gấp số còn lại.