từ 1 điểm O nằm trong tam giác đều ABC, kẻ đoạn thẳng OA', OB', OC' lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh: Các đoạn thẳng AC' + BA' + CB' có độ dài không đổi

Qua $\mathrm{O}$ kẻ các đoạn thẳng.
$\mathrm{PQ} //\mathrm{AB} ,\mathrm{MN} //\mathrm{AC} ,\mathrm{EF} //\mathrm{BC}$
Các tứ giác $\mathrm{ABQP} ,\mathrm{BCFE} ,\mathrm{CAMN}$ là các hình thang cân và các tam giác $\mathrm{OME} ,\mathrm{ONQ}$, $\mathrm{OPF}$ là các tam giác đều.
Vì các cạnh bên của hình thang cân bằng nhau và đường cao trong tam giác đều cũng là dường trung tuyến nên ta có:
\begin{gather*}
\mathrm{AM} =\mathrm{NC} ;\mathrm{MC}^{\prime } =\mathrm{C}^{\prime }\mathrm{E} ;\mathrm{BQ} =\mathrm{AP} ;\\
\mathrm{QA}^{\prime } =\mathrm{A}^{\prime }\mathrm{N} ;\mathrm{CF} =\mathrm{BE} ;\mathrm{FB}^{\prime } =\mathrm{B}^{\prime }\mathrm{P}
\end{gather*}
Cộng từng vế các đẳng thức trên lại ta được:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \left(\mathrm{AM} +\mathrm{MC}^{\prime }\right) +\left(\mathrm{BQ} +\mathrm{QA^{\prime }}\right) +\left(\mathrm{CF} +\mathrm{FB}^{\prime }\right)\\
& =\left(\mathrm{NC} +\mathrm{A}^{\prime }\mathrm{N}\right) +\left(\mathrm{AP} +\mathrm{B}^{\prime }\mathrm{P}\right) +\left(\mathrm{BE} +\mathrm{C}^{\prime }\mathrm{E}\right)\\
& \text{ hay: } AC^{\prime } +\mathrm{BA}^{\prime } +\mathrm{CB}^{\prime } =\mathrm{A}^{\prime }\mathrm{C} +\mathrm{B}^{\prime }\mathrm{A} +\mathrm{C}^{\prime }\mathrm{B}\\
& \text{ mà }\left(\mathrm{AC} +\mathrm{BA}^{\prime } +\mathrm{CB}^{\prime }\right) +\left(\mathrm{A}^{\prime }\mathrm{C} +\mathrm{B}^{\prime }\mathrm{A} +\mathrm{C}^{\prime }\mathrm{B}\right)\\
& =\left( AC^{\prime } +C^{\prime } B\right) +\left( BA^{\prime } +A^{\prime } C\right) +\left( C^{\prime } +B^{\prime } A\right)\\
& =\mathrm{AB} +\mathrm{BC} +\mathrm{CA} =\text{ Chu vi } \vartriangle \mathrm{ABC}
\end{aligned}
\end{equation*}
Từ đó suy ra: $\mathrm{AC}^{\prime } +\mathrm{BA}^{\prime } +\mathrm{CD}^{\prime } =\frac{1}{2}$ chu vi $\vartriangle \mathrm{ABC}$ (không đổi).