avatar
level icon
lut

20/07/2023

từ 1 điểm O nằm trong tam giác đều ABC, kẻ đoạn thẳng OA', OB', OC' lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh: Các đoạn thẳng AC' + BA' + CB' có độ dài không đổi

thumb up 3
thumb down
Trả lời câu hỏi của lut

Làm sao để có câu trả lời hay nhất?

  • Luôn có GIẢI THÍCH các bước giải
  • Không copy câu trả lời của Timi
  • Không sao chép trên mạng
  • Không spam câu trả lời để nhận điểm
  • Spam sẽ bị khóa tài khoản
CÂU TRẢ LỜI
avatar
Timi

20/07/2023

Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để chứng minh rằng tổng độ dài các đoạn thẳng AC' + BA' + CB' có độ dài không đổi, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và tính chất của các tam giác vuông. Gọi R là điểm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có tam giác OAB và tam giác ORB là hai tam giác vuông cân (vì OA' và OB' lần lượt vuông góc với AB và BR). Do đó, ta có: OA' = OB' (1) Tương tự, ta có tam giác OBC và tam giác ORC là hai tam giác vuông cân (vì OB' và OC' lần lượt vuông góc với BC và CR). Do đó, ta có: OB' = OC' (2) Từ (1) và (2), suy ra: OA' = OC' (3) Ta cũng có tam giác OAC và tam giác ORA là hai tam giác vuông cân (vì OA' và OC' lần lượt vuông góc với AC và AR). Do đó, ta có: AC' = AR (4) Tương tự, ta có tam giác OBA và tam giác ORB là hai tam giác vuông cân (vì OA' và OB' lần lượt vuông góc với AB và BR). Do đó, ta có: BA' = BR (5) Từ (4) và (5), suy ra: AC' + BA' = AR + BR (6) Nhưng ta biết rằng tam giác ABC là tam giác đều, nên AR = BR = CR. Do đó, ta có: AC' + BA' = AR + BR = CR (7) Tương tự, ta có tam giác OCB và tam giác ORC là hai tam giác vuông cân (vì OB' và OC' lần lượt vuông góc với BC và CR). Do đó, ta có: CB' = CR (8) Từ (7) và (8), suy ra: AC' + BA' + CB' = CR + CR = 2CR Nhưng ta biết rằng tam giác ABC là tam giác đều, nên CR là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và do đó có độ dài không đổi. Vậy ta đã chứng minh được rằng tổng độ dài các đoạn thẳng AC' + BA' + CB' có độ dài không đổi.
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
1.0/5 (1 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận
avatar
level icon
mymeoanh

20/07/2023

Qua $\mathrm{O}$ kẻ các đoạn thẳng.
$\mathrm{PQ} //\mathrm{AB} ,\mathrm{MN} //\mathrm{AC} ,\mathrm{EF} //\mathrm{BC}$
Các tứ giác $\mathrm{ABQP} ,\mathrm{BCFE} ,\mathrm{CAMN}$ là các hình thang cân và các tam giác $\mathrm{OME} ,\mathrm{ONQ}$, $\mathrm{OPF}$ là các tam giác đều.
Vì các cạnh bên của hình thang cân bằng nhau và đường cao trong tam giác đều cũng là dường trung tuyến nên ta có:
\begin{gather*}
\mathrm{AM} =\mathrm{NC} ;\mathrm{MC}^{\prime } =\mathrm{C}^{\prime }\mathrm{E} ;\mathrm{BQ} =\mathrm{AP} ;\\
\mathrm{QA}^{\prime } =\mathrm{A}^{\prime }\mathrm{N} ;\mathrm{CF} =\mathrm{BE} ;\mathrm{FB}^{\prime } =\mathrm{B}^{\prime }\mathrm{P}
\end{gather*}
Cộng từng vế các đẳng thức trên lại ta được:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \left(\mathrm{AM} +\mathrm{MC}^{\prime }\right) +\left(\mathrm{BQ} +\mathrm{QA^{\prime }}\right) +\left(\mathrm{CF} +\mathrm{FB}^{\prime }\right)\\
& =\left(\mathrm{NC} +\mathrm{A}^{\prime }\mathrm{N}\right) +\left(\mathrm{AP} +\mathrm{B}^{\prime }\mathrm{P}\right) +\left(\mathrm{BE} +\mathrm{C}^{\prime }\mathrm{E}\right)\\
& \text{ hay: } AC^{\prime } +\mathrm{BA}^{\prime } +\mathrm{CB}^{\prime } =\mathrm{A}^{\prime }\mathrm{C} +\mathrm{B}^{\prime }\mathrm{A} +\mathrm{C}^{\prime }\mathrm{B}\\
& \text{ mà }\left(\mathrm{AC} +\mathrm{BA}^{\prime } +\mathrm{CB}^{\prime }\right) +\left(\mathrm{A}^{\prime }\mathrm{C} +\mathrm{B}^{\prime }\mathrm{A} +\mathrm{C}^{\prime }\mathrm{B}\right)\\
& =\left( AC^{\prime } +C^{\prime } B\right) +\left( BA^{\prime } +A^{\prime } C\right) +\left( C^{\prime } +B^{\prime } A\right)\\
& =\mathrm{AB} +\mathrm{BC} +\mathrm{CA} =\text{ Chu vi } \vartriangle \mathrm{ABC}
\end{aligned}
\end{equation*}
Từ đó suy ra: $\mathrm{AC}^{\prime } +\mathrm{BA}^{\prime } +\mathrm{CD}^{\prime } =\frac{1}{2}$ chu vi $\vartriangle \mathrm{ABC}$ (không đổi).

rotate image
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
5.0/5 (1 đánh giá)
thumb up 1
thumb down
0 bình luận
Bình luận

Nếu bạn muốn hỏi bài tập

Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút

Ảnh ads

CÂU HỎI LIÊN QUAN

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved