Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC, BD. Chứng minh: a) Tứ giác MNPQ là hình bình hành; b) Các đư...

a) Để chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các đường chéo MN và PQ cắt nhau ở trung điểm của chúng. Gọi E là giao điểm của MN và PQ. Ta cần chứng minh rằng E là trung điểm của cả MN và PQ. Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC, nên ta có: 2ME = AB và 2NE = BC Tương tự, vì P và Q lần lượt là trung điểm của CD và DA, nên ta có: 2PE = CD và 2QE = DA Ta có thể thấy rằng AB = CD và BC = DA (vì ABCD là tứ giác), nên ta có: 2ME = 2PE và 2NE = 2QE Từ đó suy ra ME = PE và NE = QE, tức là E là trung điểm của cả MN và PQ. Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. b) Để chứng minh rằng các đường thẳng MP, NQ và IK cùng đi qua một điểm, ta cần chứng minh rằng các đường thẳng này đồng quy. Gọi F là giao điểm của MP và NQ. Ta cần chứng minh rằng F nằm trên đường thẳng IK. Ta biết rằng I là trung điểm của AC và K là trung điểm của BD. Vì vậy, ta có: 2IF = AC và 2KF = BD Từ đó suy ra AC = 2IF và BD = 2KF. Vì M là trung điểm của AB, nên ta có AM = MB. Tương tự, vì P là trung điểm của CD, nên ta có CP = PD. Vì tứ giác MNPQ là hình bình hành, nên ta cũng có MN = PQ. Từ các quan hệ trên, ta có thể thấy rằng các tam giác AMF và CDF là tam giác đồng dạng (có các cạnh tương tỉ bằng nhau). Do đó, ta có: AM/CD = MF/FD MB/CD = MF/FD Từ đó suy ra AM/MB = MF/FD. Tương tự, ta cũng có: CP/AB = NF/FB PD/AB = NF/FB Từ đó suy ra CP/PD = NF/FB. Vì AM/MB = CP/PD (vì AM = MB và CP = PD), nên ta có MF/FD = NF/FB. Từ đó suy ra F nằm trên đường thẳng IK. Vậy ta đã chứng minh được rằng các đường thẳng MP, NQ và IK cùng đi qua một điểm.