Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A=60 độ. Tia phân giác góc BAC cắt BC ở E. Kẻ EK vuông góc với AB ở K. Kẻ BD vuông góc với AE ở D. a)C/m: tam giác AEC = tam giác AEK b)C/m: k là trung điểm AB c) CM...

a) Ta có góc AEC = góc AEK (vì là góc phân giác), và góc EAC = góc EAK (vì tam giác ABC vuông tại C). Do đó, tam giác AEC và tam giác AEK có hai góc bằng nhau nên chúng đồng dạng. Vậy ta có: tam giác AEC = tam giác AEK. b) Ta có góc BAC = 60 độ, vì tam giác ABC vuông tại C nên góc ABC = 90 - 60 = 30 độ. Khi đó, góc BAE = 180 - 60 - 30 = 90 độ. Vì EK vuông góc với AB nên góc EKA = 90 độ. Do đó, tam giác ABE là tam giác vuông tại A. Vì góc BAE = 90 độ nên K là trung điểm của AB. c) Ta có góc BAC = 60 độ, vì tam giác ABC vuông tại C nên góc ABC = 90 - 60 = 30 độ. Khi đó, góc BAE = 180 - 60 - 30 = 90 độ. Vì tam giác ABE là tam giác vuông tại A nên AE > AB. Nhưng AB = AC (vì tam giác ABC vuông tại C) nên ta có EB > AC. d) Đường thẳng AC, EK và BD đồng quy khi và chỉ khi tứ giác ABDE là tứ giác điều hòa. Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng tỉ số AE/EB = AK/KD. Ta có tam giác ABE là tam giác vuông tại A nên theo định lí đường phân giác, ta có AE/EB = AK/KD. Vì K là trung điểm của AB nên AK = KB và KD = DB. Do đó, ta có AE/EB = AK/KD = KB/DB. Vậy ta có tứ giác ABDE là tứ giác điều hòa, từ đó suy ra AC, EK và BD là 3 đường thẳng đồng quy.