Bài 6 (2 điểm): Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Lấy điểm I là trung điểm của BC. a, Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bin...

a, Ta có: - Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH là đường cao của tam giác ABC. - I là trung điểm của BC nên BI = IC. - K là điểm đối xứng của H qua I nên HK = HI. Vậy ta có BH = CK và HC = BK. Do đó, tứ giác BHCK là hình bình hành. b, Ta có: - Vì A là đỉnh của tam giác ABC nên AH là đường cao của tam giác ABC. - I là trung điểm của BC nên AI là đường trung trực của BC. Vậy ta có AI ⊥ BC và AI cắt BC tại trung điểm M của BC. - Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: AO ⊥ BC và AO cắt BC tại trung điểm N của BC. Vậy ta có AN = NM. - Do đó, ta có AM = MN và AI = IM. Vậy tứ giác ABNC là hình bình hành. - Vì ABNC là hình bình hành nên góc BNC = 180° - góc BAC. - Nhưng góc BNC = 180° - góc BAC (do ABNC là hình bình hành). Vậy góc BAC = góc BNC. - Vậy ta có 4 điểm A, B, K, C cùng thuộc đường tròn tâm O. c, Ta có: - Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên OA = OB = OC. - I là trung điểm của BC nên AI ⊥ BC và AI cắt BC tại trung điểm M của BC. Vậy ta có AM = MC. - Do đó, ta có AO = OM và AI = IM. Vậy tam giác AIO là tam giác đều. - Vậy ta có OI ⊥ AI. - Nhưng AH ⊥ AI (do AH là đường cao của tam giác ABC). Vậy OI // AH. d, Ta có: - Vì A là đỉnh của tam giác ABC nên AH là đường cao của tam giác ABC. - Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH = HC. - Vì I là trung điểm của BC nên BI = IC. - Gọi M là trung điểm của AC. Ta có: BM = MC và AM = MC. - Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác ABMC, ta có: BM.AC + MC.AB = BC.AM Vậy BE.BA + CD.CA = BC.AH.