Bài 6 (2 điểm): Cho tam giác ABC (AB

Question

Bài 6 (2 điểm): Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao
BD và CE cắt nhau tại trực tâm H.
Lấy điểm I là trung điểm của BC.
a, Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ giác BHCK
là hình binh hành.
b, Chứng minh 4 điểm A, B, K, C cùng thuộc đường tròn tâm O.
Xác định tâm O.
c, Chứng minh OI // AH
d, Chứng minh:BE.BA+CD.CA=BC bình

anhthupham · Accepted Answer

a) Ta có: IB=IC và IH=IK
⟹ tứ giác BHCK có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vậy BHCK là hình bình hành.
b) Do BHCK là hbh nên BH//CK, CH//BK
Mà BH $\displaystyle \bot $ AC nên CK $\displaystyle \bot $ AC hay $\displaystyle \widehat{ACK} =90^{0}$
CH $\displaystyle \bot $ AB nên BK$\displaystyle \bot $ AB hay $\displaystyle \widehat{ABK} =90^{0}$
Gọi O là trung điểm AK thì AO=OK=BO=CO
Vậy O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, K.
c) Do I là trung điểm BC và O là tâm đường tròn nên OI $\displaystyle \bot $ BC
Lại có $\displaystyle AH\ \bot \ BC$ (H là trực tâm)
Vậy AH//OI

Timi · Answer

a, Ta có:
- Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH là đường cao của tam giác ABC.
- I là trung điểm của BC nên BI = IC.
- K là điểm đối xứng của H qua I nên HK = HI.
Vậy ta có BH = CK và HC = BK.
Do đó, tứ giác BHCK là hình bình hành.

b, Ta có:
- Vì A là đỉnh của tam giác ABC nên AH là đường cao của tam giác ABC.
- I là trung điểm của BC nên AI là đường trung trực của BC.
Vậy ta có AI ⊥ BC và AI cắt BC tại trung điểm M của BC.
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có: AO ⊥ BC và AO cắt BC tại trung điểm N của BC.
Vậy ta có AN = NM.
- Do đó, ta có AM = MN và AI = IM.
Vậy tứ giác ABNC là hình bình hành.
- Vì ABNC là hình bình hành nên góc BNC = 180° - góc BAC.
- Nhưng góc BNC = 180° - góc BAC (do ABNC là hình bình hành).
Vậy góc BAC = góc BNC.
- Vậy ta có 4 điểm A, B, K, C cùng thuộc đường tròn tâm O.

c, Ta có:
- Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên OA = OB = OC.
- I là trung điểm của BC nên AI ⊥ BC và AI cắt BC tại trung điểm M của BC.
Vậy ta có AM = MC.
- Do đó, ta có AO = OM và AI = IM.
Vậy tam giác AIO là tam giác đều.
- Vậy ta có OI ⊥ AI.
- Nhưng AH ⊥ AI (do AH là đường cao của tam giác ABC).
Vậy OI // AH.

d, Ta có:
- Vì A là đỉnh của tam giác ABC nên AH là đường cao của tam giác ABC.
- Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH = HC.
- Vì I là trung điểm của BC nên BI = IC.
- Gọi M là trung điểm của AC.
Ta có: BM = MC và AM = MC.
- Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác ABMC, ta có:
BM.AC + MC.AB = BC.AM
Vậy BE.BA + CD.CA = BC.AH.

_emma_ 🌷 · Answer

Đáp án:

a) Ta có:

BH=CH (đều là đường cao của tam giác ABC)

BK=CK (hai đường chéo của hình bình hành)

AB<AC (điều kiện cho trước)

Do đó, tứ giác BHCK là hình bình hành.

b) Ta có:

BK=CK (đường chéo của hình bình hành)

BC=2BK (I là trung điểm của BC)

Do đó, bốn điểm A, B, K, C đều nằm trên đường tròn tâm O và có bán kính r=BK=CK.

Xác định tâm O:

O là giao điểm của hai đường cao BD và CE.

c) Ta có:

AH là đường trung trực của BC

IH là đường trung trực của BD

Do đó, IH⊥BD và IH⊥BC.

Từ đó, ta có:

IH \perp AH

Do đó, OI⊥AH.

d) Ta có:

BE=

2

BC

−AB

CD=

2

BC

−AC

Do đó, ta có:

BE.BA + CD.CA = \frac{BC^2}{4} - AB.BA - \frac{BC^2}{4} + AC.CA = \frac{BC^2 - AB^2 - BC^2 + AC^2}{4} = \frac{(AC - AB)^2}{4} = \frac{BC^2}{4}

Do đó, BE.BA+CD.CA=

4

BC

2

=

2

BC

⋅

2

BC

=

2

BC

⋅

2

BC

=BC⋅

2

BC

=

2

BC

2

.

Kết luận:

Tứ giác BHCK là hình bình hành.

Bốn điểm A, B, K, C cùng thuộc đường tròn tâm O và có bán kính r=BK=CK.

OI⊥AH.

BE.BA+CD.CA=

2

BC

2

.

Bài 6 (2 điểm): Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Lấy điểm I là trung điểm của BC. a, Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bin...