Cho hình thang ABCD ( AB//CD) có các đường cao AH và BK. Biết hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Chứng minh AH=AB+CD/2

Để chứng minh AH = AB + CD/2, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang và đường cao. Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có: - Vì AC và BD vuông góc với nhau, nên tam giác AEB và tam giác CED là hai tam giác vuông. - Vì AB//CD, nên tam giác AHB và tam giác CKD là hai tam giác đồng dạng. - Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AH/AB = CK/CD. Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có: AH/AB = CK/CD ⇒ AH = AB * CK/CD Vì AB//CD, nên ta có: CK = AB + CD Thay vào công thức trên, ta có: AH = AB * (AB + CD)/CD ⇒ AH = AB^2/CD + AB Ta biết rằng đường cao AH chia hình thang thành hai tam giác cùng diện tích. Diện tích của tam giác AHB là 1/2 * AB * AH, và diện tích của tam giác CKD là 1/2 * CD * AH. Vì hai tam giác có diện tích bằng nhau, nên ta có: 1/2 * AB * AH = 1/2 * CD * AH ⇒ AB * AH = CD * AH ⇒ AB^2 = CD * AH ⇒ AB^2/CD = AH Thay vào công thức trên, ta có: AH = AB^2/CD + AB ⇒ AH = AB + CD/2 Vậy ta đã chứng minh được rằng AH = AB + CD/2.