daovantest 31. Giải hệ phương trình:   \left\{\begin{array}c\frac{2xy}{x+y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=\frac{2\sqrt{xy}+x+y}2\\sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}\end{array} ight.   \sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}=3x+4

Question

daovantest 31.  Giải hệ phương trình: &nbsp; \left\{\begin{array}c\frac{2xy}{x+y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=\frac{2\sqrt{xy}+x+y}2\\sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}\end{array}ight. &nbsp; \sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}=3x+4

thanhdat · Accepted Answer

Sửa lại đề $\displaystyle \begin{cases}
\dfrac{2xy}{x+y} +\sqrt{\dfrac{x^{2} +y^{2}}{2}} =\dfrac{2\sqrt{xy} +x+y}{2} \ ( 1)\
\sqrt[3]{9xy+3x+6y+9} +2\sqrt[3]{6xy+2} =3x+4\ ( 2)
\end{cases}$
Đk:$\displaystyle xy\geqslant 0;x+y eq 0$
Ta có $\displaystyle ( 1) \Leftrightarrow \left(\dfrac{2xy}{x+y} -\dfrac{x+y}{2} ight) +\left(\sqrt{\dfrac{x^{2} +y^{2}}{2}} -\sqrt{xy} ight) =0$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow -\dfrac{( x-y)^{2}}{x+y} +\dfrac{( x-y)^{2}}{\left(\sqrt{\dfrac{x^{2} +y^{2}}{2}} +\sqrt{xy} ight)} =0\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
x=y\
x+y=\sqrt{\dfrac{x^{2} +y^{2}}{2}} +\sqrt{xy}
\end{array} ight.
\end{array}$
+/Nếu $\displaystyle x=y$, thay vào $\displaystyle ( 2)$ ta được $\displaystyle \sqrt[3]{9x^{2} +9x+9} +2\sqrt[3]{6x^{2} +2} =3x+4$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{9x^{2} +9x+9} -( x+2) ight) +2\left(\sqrt[3]{6x^{2} +2} -( x+1) ight) =0\
\Leftrightarrow \dfrac{-( x-1)^{3}}{A^{2} +( x+2) A+( x+2)^{2}} +2\dfrac{-( x-1)^{3}}{B^{2} +( x+1) B+( x+1)^{2}} =0
\end{array}$
với $\displaystyle A=\sqrt[3]{9x^{2} +9x+9} ;\ B=\sqrt[3]{6x^{2} +2}$
$\displaystyle \Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\ ( tm)$ (do $\displaystyle A^{2} +( x+2) A+( x+2)^{2} >0;B^{2} +( x+1) B+( x+1)^{2} >0)$
+/Nếu $\displaystyle x+y=\sqrt{\dfrac{x^{2} +y^{2}}{2}} +\sqrt{xy} \ ( x;y\geqslant 0)$
Áp dụng bđt CBS ta có $\displaystyle \left(\sqrt{\dfrac{x^{2} +y^{2}}{2}} +\sqrt{xy} ight)^{2} \leqslant 2\left(\dfrac{x^{2} +y^{2}}{2} +xy ight) =( x+y)^{2}$
$\displaystyle \Rightarrow x+y=\sqrt{\dfrac{x^{2} +y^{2}}{2}} +\sqrt{xy} \leqslant \sqrt{( x+y)^{2}} =x+y$
Dấu bằng xảy ra $\displaystyle \Leftrightarrow x=y$
Thay vào $\displaystyle ( 2)$ ta cũng được $\displaystyle x=y=1$

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình thứ nhất
Ta có phương trình:
$\frac{2xy}{x+y}\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=\frac{2\sqrt{xy}+x+y}2$

Nhân cả hai vế của phương trình với $2(x+y)$, ta được:
$2xy\sqrt{\frac{x^2+y^2}2}=2\sqrt{xy}(x+y)+(x+y)^2$

Đặt $a = x+y$ và $b = \sqrt{xy}$, ta có:
$2ab\sqrt{\frac{a^2-2b^2}2}=2ab+a^2$

Chia cả hai vế của phương trình cho $2ab$, ta được:
$\sqrt{\frac{a^2-2b^2}2}=1+\frac{a}{2b}$

Bình phương cả hai vế của phương trình, ta có:
$\frac{a^2-2b^2}2=\left(1+\frac{a}{2b}\right)^2$

Mở ngoặc và đơn giản hóa phương trình, ta được:
$a^2-2b^2=4b^2+4ab+a^2$

Rút gọn phương trình, ta có:
$-6b^2=4ab$

Chia cả hai vế của phương trình cho $2b$, ta được:
$-3b=a$

Bước 2: Thay kết quả từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai
Thay $a = -3b$ vào phương trình thứ hai, ta có:
$\sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}=3x+4$

Thay $a = -3b$ và $b = \sqrt{xy}$ vào phương trình, ta có:
$\sqrt[3]{9(-3b)b+3(-3b)+6b+9}+2\sqrt[3]{6(-3b)b+2}=3(-3b)+4$

Đơn giản hóa phương trình, ta được:
$\sqrt[3]{-27b^2-9b+6b+9}+2\sqrt[3]{-18b^2+2}=-9b+4$

Rút gọn phương trình, ta có:
$\sqrt[3]{-27b^2-3b+9}+2\sqrt[3]{-18b^2+2}=-9b+4$

Bước 3: Giải phương trình đã đơn giản hóa
Đặt $c = \sqrt[3]{-27b^2-3b+9}$ và $d = \sqrt[3]{-18b^2+2}$, ta có:
$c+2d=-9b+4$

Giải phương trình này, ta được:
$c=-9b+4-2d$

Thay kết quả của $c$ vào phương trình $c = \sqrt[3]{-27b^2-3b+9}$, ta có:
$\sqrt[3]{-27b^2-3b+9}=-9b+4-2d$

Bình phương cả hai vế của phương trình, ta có:
$-27b^2-3b+9=(-9b+4-2d)^3$

Mở ngoặc và đơn giản hóa phương trình, ta được:
$-27b^2-3b+9=-729b^3+972b^2-432b+64-72d+36bd-8d^2$

Rút gọn phương trình, ta có:
$729b^3-999b^2+429b-73+72d-36bd+8d^2=0$

Bước 4: Giải phương trình đã đơn giản hóa
Phương trình này là một phương trình bậc ba. Ta có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp Viète.

Tuy nhiên, để giải phương trình này, ta cần biết giá trị của $d$. Từ phương trình $c+2d=-9b+4$, ta có thể tìm được giá trị của $d$.

Bước 5: Tìm giá trị của $d$
Thay $c = -9b+4-2d$ vào phương trình $c+2d=-9b+4$, ta có:
$-9b+4-2d+2d=-9b+4$

Rút gọn phương trình, ta có:
$-9b+4=-9b+4$

Phương trình trên luôn đúng với mọi giá trị của $b$. Do đó, không có ràng buộc nào đối với $d$.

Bước 6: Kết luận
Vậy, hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.