giúp mình với ạ

rotate image
thumb up 0
thumb down
Trả lời câu hỏi của Nguyễn Ngọc Bảo Ngân

Làm sao để có câu trả lời hay nhất?

  • Luôn có GIẢI THÍCH các bước giải
  • Không copy câu trả lời của Timi
  • Không sao chép trên mạng
  • Không spam câu trả lời để nhận điểm
  • Spam sẽ bị khóa tài khoản
CÂU TRẢ LỜI
avatar
Timi

03/09/2023

Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để chứng minh công thức $\cos C - \cot \widehat{AGB} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{6S}$, ta sẽ sử dụng các định lý về trọng tâm và các định lý trong tam giác. Đầu tiên, ta biết rằng trọng tâm G chia tỉ lệ 2:1 từ mỗi đỉnh đến trọng tâm. Vì vậy, ta có: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ Tiếp theo, ta sẽ sử dụng định lý Cosin trong tam giác ABC: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ Từ đó, ta có: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ Tiếp theo, ta sẽ sử dụng định lý Cotangent trong tam giác ABC: $\cot \widehat{AGB} = \frac{\cos A + \cos B}{\sin A \sin B} = \frac{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}}{\sin A \sin B}$ Vì $\sin A = \frac{2S}{bc}$ và $\sin B = \frac{2S}{ac}$, nên: $\cot \widehat{AGB} = \frac{b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + c^2 - b^2}{4S^2} = \frac{2c^2}{4S^2} = \frac{c^2}{2S^2}$ Cuối cùng, ta sẽ chứng minh công thức đã cho: $\cos C - \cot \widehat{AGB} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} - \frac{c^2}{2S^2} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} - \frac{c^2}{2(ab \cdot \frac{2S}{c})} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} - \frac{c^2}{4S} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} - \frac{c^2}{4S} \cdot \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} - \frac{c^2(a^2 + b^2 + c^2)}{4S(a^2 + b^2 + c^2)} = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - \frac{c^2(a^2 + b^2 + c^2)}{2S}}{2ab} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - \frac{c^2(a^2 + b^2 + c^2)}{2S}}{2ab} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2ab} - \frac{c^2}{2S} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{6S}$ Vậy, ta đã chứng minh được công thức $\cos C - \cot \widehat{AGB} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{6S}$.
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
1.0/5 (1 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận
avatar
level icon
nguyentrang12

03/09/2023

Câu trả lời uy tín

AB=c;AC=b;BC=a
AG cắt BC tại M; CG cắt AC tại N
Ta có:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
BN^{2} =\frac{2BC^{2} +2BA^{2} -AC^{2}}{4} =\frac{2a^{2} +2c^{2} -b^{2}}{4}\\
AM^{2} =\frac{2AB^{2} +2AC^{2} -BC^{2}}{4} =\frac{2c^{2} +2b^{2} -a^{2}}{4}\\
\Rightarrow BG^{2} =\left(\frac{2}{3}\right)^{2} BN^{2} =\frac{2a^{2} +2c^{2} -b^{2}}{9}\\
AG^{2} =\left(\frac{2}{3}\right)^{2} AM=\frac{2c^{2} +2b^{2} -a^{2}}{9}
\end{array}$
Có: $\displaystyle S_{AGB} =\frac{2}{3} S_{AMB} ;S_{AMB} =\frac{1}{2} S_{ABC}$
$\displaystyle \Rightarrow S_{AGB} =\frac{1}{3} S_{ABC} =\frac{1}{3} S.$
$\displaystyle BG^{2} +GA^{2} -AB^{2} =\frac{2a^{2} +2c^{2} -b^{2} +2c^{2} +2b^{2} -a^{2}}{9} -c^{2} =\frac{b^{2} +a^{2} -5c^{2}}{9}$
$\displaystyle \cot\widehat{AGB} =\frac{\cos\widehat{AGB}}{\sin\widehat{AGB}} =\frac{BG^{2} +GA^{2} -AB^{2}}{2BG.GC.\sin\widehat{AGB}} =\frac{b^{2} +a^{2} -5c^{2}}{9.4.S_{AGB}} =\frac{b^{2} +a^{2} -5c^{2}}{12S}$
Tương tự ta có:
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\cot\hat{C} =\frac{CA^{2} +BC^{2} -AB^{2}}{2CA.CB.\sin\hat{C}} =\frac{a^{2} +b^{2} -c^{2}}{4S}\\
\cot\hat{C} -\cot\widehat{AGB} =\frac{a^{2} +b^{2} -c^{2}}{4S} -\frac{b^{2} +a^{2} -5c^{2}}{12S} =\frac{2a^{2} +2b^{2} +2c^{2}}{12S} =\frac{a^{2} +b^{2} +c^{2}}{6S}
\end{array}$
 

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận
avatar
level icon
_emma_ 🌷

04/09/2023

AB=c;AC=b;BC=a

AG cắt BC tại M; CG cắt AC tại N

Ta có:

BN2=2BC2+2BA2−AC24=2a2+2c2−b24AM2=2AB2+2AC2−BC24=2c2+2b2−a24⇒BG2=(23)2BN2=2a2+2c2−b29AG2=(23)2AM=2c2+2b2−a29


Có: SAGB=23SAMB;SAMB=12SABC


⇒SAGB=13SABC=13S.


BG2+GA2−AB2=2a2+2c2−b2+2c2+2b2−a29−c2=b2+a2−5c29


cotAGBˆ=cosAGBˆsinAGBˆ=BG2+GA2−AB22BG.GC.sinAGBˆ=b2+a2−5c29.4.SAGB=b2+a2−5c212S


Tương tự ta có:

cotC^=CA2+BC2−AB22CA.CB.sinC^=a2+b2−c24ScotC^−cotAGBˆ=a2+b2−c24S−b2+a2−5c212S=2a2+2b2+2c212S=a2+b2+c26S

 

 


Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận

Nếu bạn muốn hỏi bài tập

Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút

Ảnh ads

CÂU HỎI LIÊN QUAN

haizzzzzzzzzz
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved