giúp em với ạ Câu 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):~(x-3)^2+(y+1)^2=5,$ biết tiếp tuyến song song,với đường thẳng $d:~2x+y+7=0.$,$A.~2x+y+1=0$ hoặc $2x+y-1=0.$ $B.~2x+y=0$ hoặc $2x+y-10=0.$,$C.~2x+y+10=0$ hoặc $2x+y-10=0.$ $D.~2x+y=0$ hoặc $2x+y+10=0.$

Question

Accepted Answer

Câu 4.
Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):~(x-3)^2+(y+1)^2=5,$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:~2x+y+7=0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình $2x + y + 7 = 0$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng $y = -2x - 7$. Từ đây, ta thấy hệ số góc của đường thẳng $d$ là $-2$.

2. Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng $d$:
   Tiếp tuyến song song với đường thẳng $d$ sẽ có cùng hệ số góc $-2$. Do đó, phương trình tiếp tuyến có dạng $y = -2x + c$, trong đó $c$ là hằng số cần tìm.

3. Tìm điểm tiếp xúc:
   Gọi điểm tiếp xúc của tiếp tuyến với đường tròn là $(x_0, y_0)$. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $d$, nên phương trình tiếp tuyến tại điểm $(x_0, y_0)$ sẽ có dạng $y = -2x + c$.

4. Thay tọa độ tâm đường tròn vào phương trình tiếp tuyến:
   Tâm của đường tròn $(C)$ là $(3, -1)$. Ta thay tọa độ tâm vào phương trình tiếp tuyến:
   $$
   -1 = -2 \cdot 3 + c \implies -1 = -6 + c \implies c = 5
   $$
   Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = -2x + 5$.

5. Kiểm tra khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến:
   Khoảng cách từ tâm $(3, -1)$ đến tiếp tuyến $2x + y - 5 = 0$ phải bằng bán kính của đường tròn, tức là $\sqrt{5}$:
   $$
   \text{Khoảng cách} = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) - 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1 - 5|}{\sqrt{5}} = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0
   $$
   Điều này không đúng, do đó ta cần kiểm tra lại các phương án đã cho.

6. Kiểm tra các phương án:
   - Phương án A: $2x + y + 1 = 0$ hoặc $2x + y - 1 = 0$
     - Kiểm tra khoảng cách từ tâm $(3, -1)$ đến $2x + y + 1 = 0$:
       $$
       \text{Khoảng cách} = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1 + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \neq \sqrt{5}
       $$
     - Kiểm tra khoảng cách từ tâm $(3, -1)$ đến $2x + y - 1 = 0$:
       $$
       \text{Khoảng cách} = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1 - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \neq \sqrt{5}
       $$

- Phương án B: $2x + y = 0$ hoặc $2x + y - 10 = 0$
     - Kiểm tra khoảng cách từ tâm $(3, -1)$ đến $2x + y = 0$:
       $$
       \text{Khoảng cách} = \frac{|2 \cdot 3 + (-1)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}
       $$
     - Kiểm tra khoảng cách từ tâm $(3, -1)$ đến $2x + y - 10 = 0$:
       $$
       \text{Khoảng cách} = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) - 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1 - 10|}{\sqrt{5}} = \frac{-5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}
       $$

Do đó, phương án đúng là B: $2x + y = 0$ hoặc $2x + y - 10 = 0$.

Đáp án: B. $2x + y = 0$ hoặc $2x + y - 10 = 0$.