Câu 7.
Ta sẽ sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để giải quyết bài toán này.
Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn là:
Trong đó, là hệ số nhị thức, còn là số mũ của nhị thức.
Áp dụng công thức này cho :
Khi khai triển, ta sẽ có các số hạng tương ứng với . Do đó, số lượng số hạng trong khai triển là 5.
Vậy, trong khai triển nhị thức Niu-tơn của có 5 số hạng.
Đáp án đúng là: C. 5.
Câu 8.
Khi gieo đồng tiền hai lần, ta có thể liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra như sau:
1. Mặt ngửa xuất hiện ở lần đầu tiên và mặt sấp xuất hiện ở lần thứ hai (Ngửa - Sấp)
2. Mặt sấp xuất hiện ở lần đầu tiên và mặt ngửa xuất hiện ở lần thứ hai (Sấp - Ngửa)
Như vậy, có hai kết quả trong đó mặt ngửa xuất hiện đúng một lần.
Do đó, số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần là 2.
Đáp án đúng là: A. 2
Câu 9.
Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng và , ta sẽ kiểm tra các điều kiện về sự song song, vuông góc và cắt nhau.
Đường thẳng có phương trình:
Đường thẳng có phương trình:
Bước 1: Kiểm tra điều kiện song song
Hai đường thẳng song song nếu hệ số của và trong phương trình của chúng tỉ lệ với nhau, tức là:
Ở đây:
Ta thấy:
Vậy hai đường thẳng không song song.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện vuông góc
Hai đường thẳng vuông góc nếu tích của các hệ số góc của chúng bằng :
Ta tính:
Vì , nên hai đường thẳng không vuông góc.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện cắt nhau
Nếu hai đường thẳng không song song và không vuông góc, thì chúng sẽ cắt nhau tại một điểm.
Do đó, khẳng định đúng là:
Câu 10.
Để tìm phương trình chính tắc của elip, ta cần biết độ dài trục lớn và độ dài tiêu cự.
- Độ dài trục lớn của elip là 10, vậy bán kính trục lớn là:
- Độ dài tiêu cự của elip là 6, vậy khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là:
- Bán kính trục nhỏ của elip được tính bằng công thức:
Phương trình chính tắc của elip có dạng:
Thay và vào phương trình trên, ta được:
Vậy phương trình chính tắc của elip là:
Đáp án đúng là:
Câu 11.
Để xác định số các mật khẩu khác nhau có thể tạo ra, chúng ta cần tính số tổ hợp có thể tạo ra từ 4 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số từ 0 đến 9.
Bước 1: Xác định số lựa chọn cho mỗi kí tự.
- Mỗi kí tự có thể là bất kỳ chữ số nào từ 0 đến 9, do đó có 10 lựa chọn cho mỗi kí tự.
Bước 2: Tính tổng số tổ hợp có thể tạo ra.
- Vì mật khẩu gồm 4 kí tự, mỗi kí tự có 10 lựa chọn, nên tổng số tổ hợp có thể tạo ra là:
Vậy số các mật khẩu khác nhau có thể tạo ra là 10000.
Đáp án đúng là: C. 10000
Câu 12.
Để tìm hệ số của trong khai triển của , ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton.
Công thức nhị thức Newton cho khai triển là:
Trong trường hợp này, , , và . Ta cần tìm hệ số của , tức là hệ số của .
Theo công thức nhị thức Newton, mỗi hạng tử trong khai triển có dạng:
Ta cần tìm sao cho có . Điều này xảy ra khi , tức là .
Thay vào công thức:
Như vậy, hệ số của trong khai triển của là .
Đáp án đúng là: D. -8.
Câu 1.
Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.
a) Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Đối với bài toán này, không có phân thức hay căn thức nên không cần tìm ĐKXĐ.
b) Xét phương trình đường thẳng và đường tròn
- Phương trình đường thẳng:
- Phương trình đường tròn:
c) Tìm tâm và bán kính của đường tròn
- Ta viết lại phương trình đường tròn dưới dạng chuẩn:
Từ đây, ta thấy tâm của đường tròn là và bán kính là .
d) Kiểm tra xem đường thẳng có cắt đường tròn hay không
- Ta thay vào phương trình đường tròn:
Ta giải phương trình bậc hai này:
Thay lại vào phương trình đường thẳng để tìm :
- Khi :
- Khi :
Vậy, đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm và .
e) Tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm M(2, -3)
- Ta biết rằng đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc với đường tròn có dạng:
Thay vào phương trình đường tròn:
Phương trình này phải có nghiệm kép, tức là . Ta giải phương trình này để tìm .
f) Tính số phần tử của tập hợp S
- Tập hợp có 9 phần tử.
- Số phần tử của tập hợp S là số cách chọn 4 chữ số từ 9 chữ số, mỗi chữ số có thể lặp lại:
Kết luận
- Số phần tử của tập hợp S là 6561.
Đáp số: 6561