a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y ≥ -6
Trước hết, ta vẽ đường thẳng 3x + 2y = -6. Ta chọn hai điểm để vẽ đường thẳng này:
- Khi x = 0, ta có 2y = -6 suy ra y = -3. Vậy một điểm là (0, -3).
- Khi y = 0, ta có 3x = -6 suy ra x = -2. Vậy một điểm khác là (-2, 0).
Ta vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0, -3) và (-2, 0). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa.
Tiếp theo, ta kiểm tra một điểm nằm bên ngoài đường thẳng để xác định miền nghiệm. Chọn điểm (0, 0):
- Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình 3x + 2y ≥ -6, ta có 3(0) + 2(0) ≥ -6, tức là 0 ≥ -6, đúng.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y ≥ -6 là nửa mặt phẳng chứa điểm (0, 0) và bao gồm cả đường thẳng 3x + 2y = -6.
b) Cửa hàng thời trang Việt Tiến muốn kinh doanh thêm 2 loại áo thun mẫu mới trong dịp tết này với số vốn đầu tư không quá 72 triệu đồng. Loại dài tay giá mua vào 800.000 đồng và lãi 150.000 đồng 1 áo, loại ngắn tay giá mua vào 600.000 đồng và lãi 120.000 đồng 1 áo. Cửa hàng ước tính nhu cầu của khách không quá 100 cái cho cả 2 loại. Lập phương án kinh doanh sao cho có lãi nhất.
Gọi x là số áo dài tay và y là số áo ngắn tay.
Điều kiện:
- Số vốn đầu tư không quá 72 triệu đồng: 800.000x + 600.000y ≤ 72.000.000
- Nhu cầu của khách không quá 100 cái: x + y ≤ 100
- x ≥ 0 và y ≥ 0
Hàm mục tiêu là tổng lợi nhuận: P = 150.000x + 120.000y
Bây giờ, ta sẽ tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình:
1. 800.000x + 600.000y ≤ 72.000.000
2. x + y ≤ 100
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền đa giác ABCD với các đỉnh A(0, 0), B(0, 100), C(60, 40), D(90, 0).
Ta sẽ kiểm tra giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh này:
- Tại A(0, 0): P = 150.000(0) + 120.000(0) = 0
- Tại B(0, 100): P = 150.000(0) + 120.000(100) = 12.000.000
- Tại C(60, 40): P = 150.000(60) + 120.000(40) = 9.000.000 + 4.800.000 = 13.800.000
- Tại D(90, 0): P = 150.000(90) + 120.000(0) = 13.500.000
Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu P đạt được tại điểm C(60, 40) với P = 13.800.000.
Vậy cửa hàng nên sản xuất 60 áo dài tay và 40 áo ngắn tay để có lãi nhất.