giúp mình với âu 15. Lập phương trình chính ắc ủaaEEli,, iit $\underline a)\sqrt{(2+2)^2+(\frac53)^2}+\sqrt{(2-2)^2+|\frac53|}$,$2a=6\Rightarrow a=3$,a) Elip đi qua điểm $M(2;\frac53)$ và có một tiêu điểm $F(-2;0).$,b) Elip nhận $F_2(5;0)$ là một tiêu điểm và có độ dài trục nhỏ bằng $4\sqrt6$,c) Elip có độ dài trục lớn bằng $2\sqrt5$ và tiêu cự bằng $\frac{c)}2.2c=2\sqrt S=2a=\sqrt5}{\Rightarrow c=1}/b^2=$,d) Elip đi qua hai điểm $M(2;-\sqrt2)$ và $N(-\sqrt6;1).$ d) They IVVee ()),$\frac6{a^2}+\frac1{b^2}=6\Rightarrow$

Question

giúp mình với âu 15. Lập phương trình chính ắc  ủaaEEli,, iit $\underline a)\sqrt{(2+2)^2+(\frac53)^2}+\sqrt{(2-2)^2+|\frac53|}$,$2a=6\Rightarrow a=3$,a) Elip đi qua điểm $M(2;\frac53)$ và có một tiêu điểm $F(-2;0).$,b) Elip nhận $F_2(5;0)$ là một tiêu điểm và có độ dài trục nhỏ bằng $4\sqrt6$,c) Elip có độ dài trục lớn bằng $2\sqrt5$ và tiêu cự bằng $\frac{c)}2.2c=2\sqrt S=2a=\sqrt5}{\Rightarrow c=1}/b^2=$,d) Elip đi qua hai điểm $M(2;-\sqrt2)$ và $N(-\sqrt6;1).$ d) They IVVee ()),$\frac6{a^2}+\frac1{b^2}=6\Rightarrow$

Accepted Answer

Câu 15.
a) Elip đi qua điểm $M(2;\frac53)$ và có một tiêu điểm $F(-2;0).$
- Ta có tiêu cự $2c = 4 \Rightarrow c = 2.$
- Vì elip đi qua điểm $M(2;\frac53)$ nên ta thay tọa độ của điểm này vào phương trình chính tắc của elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$:
$$ \frac{4}{a^2} + \frac{\left(\frac{5}{3}\right)^2}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{4}{a^2} + \frac{25}{9b^2} = 1 $$

- Biết rằng $c^2 = a^2 - b^2$, ta có:
$$ 4 = a^2 - b^2 $$

- Giải hệ phương trình:
$$ \begin{cases}
\frac{4}{a^2} + \frac{25}{9b^2} = 1 \
a^2 - b^2 = 4
\end{cases} $$

- Thay $a^2 = b^2 + 4$ vào phương trình đầu tiên:
$$ \frac{4}{b^2 + 4} + \frac{25}{9b^2} = 1 $$

- Nhân cả hai vế với $(b^2 + 4) \cdot 9b^2$:
$$ 36b^2 + 25(b^2 + 4) = 9b^2(b^2 + 4) $$
$$ 36b^2 + 25b^2 + 100 = 9b^4 + 36b^2 $$
$$ 61b^2 + 100 = 9b^4 + 36b^2 $$
$$ 9b^4 - 25b^2 - 100 = 0 $$

- Đặt $u = b^2$, ta có phương trình bậc hai:
$$ 9u^2 - 25u - 100 = 0 $$

- Giải phương trình bậc hai:
$$ u = \frac{25 \pm \sqrt{625 + 3600}}{18} = \frac{25 \pm 65}{18} $$
$$ u = 5 \text{ hoặc } u = -\frac{20}{9} $$

- Vì $u = b^2 > 0$, ta có $b^2 = 5$. Do đó:
$$ a^2 = b^2 + 4 = 5 + 4 = 9 $$

- Phương trình chính tắc của elip là:
$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 $$

b) Elip nhận $F_2(5;0)$ là một tiêu điểm và có độ dài trục nhỏ bằng $4\sqrt6$.
- Ta có $c = 5$ và $2b = 4\sqrt6 \Rightarrow b = 2\sqrt6$.
- Biết rằng $c^2 = a^2 - b^2$, ta có:
$$ 25 = a^2 - 24 $$
$$ a^2 = 49 $$

- Phương trình chính tắc của elip là:
$$ \frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{24} = 1 $$

c) Elip có độ dài trục lớn bằng $2\sqrt5$ và tiêu cự bằng 2.
- Ta có $2a = 2\sqrt5 \Rightarrow a = \sqrt5$ và $2c = 2 \Rightarrow c = 1$.
- Biết rằng $c^2 = a^2 - b^2$, ta có:
$$ 1 = 5 - b^2 $$
$$ b^2 = 4 $$

- Phương trình chính tắc của elip là:
$$ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1 $$

d) Elip đi qua hai điểm $M(2;-\sqrt2)$ và $N(-\sqrt6;1)$.
- Thay tọa độ của điểm $M(2;-\sqrt2)$ vào phương trình chính tắc của elip:
$$ \frac{4}{a^2} + \frac{2}{b^2} = 1 $$

- Thay tọa độ của điểm $N(-\sqrt6;1)$ vào phương trình chính tắc của elip:
$$ \frac{6}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1 $$

- Giải hệ phương trình:
$$ \begin{cases}
\frac{4}{a^2} + \frac{2}{b^2} = 1 \
\frac{6}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1
\end{cases} $$

- Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2:
$$ \frac{12}{a^2} + \frac{2}{b^2} = 2 $$

- Trừ phương trình đầu tiên từ phương trình này:
$$ \frac{12}{a^2} + \frac{2}{b^2} - \left(\frac{4}{a^2} + \frac{2}{b^2}\right) = 2 - 1 $$
$$ \frac{8}{a^2} = 1 $$
$$ a^2 = 8 $$

- Thay $a^2 = 8$ vào phương trình đầu tiên:
$$ \frac{4}{8} + \frac{2}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{2}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{2}{b^2} = \frac{1}{2} $$
$$ b^2 = 4 $$

- Phương trình chính tắc của elip là:
$$ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1 $$