Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường kính AD. Gọi H là giao điểm hai đường cao BE và CF của tam giác ABC. a, Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành b, Gọi I là trung điểm của BC...

a, Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành: Ta có đường cao BE của tam giác ABC là đường phân giác của góc BAC, do đó góc BAE = góc CAE. Tương tự, đường cao CF của tam giác ABC là đường phân giác của góc ABC, do đó góc CAF = góc BAC. Vậy ta có góc BAE = góc CAF. Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên góc BOC = 2góc BAC. Vậy góc BOC = 2góc BAE = 2góc CAF. Như vậy, tứ giác BHCD có hai cặp góc đối nhau bằng nhau, nên là hình bình hành. b, Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2OI: Ta có trọng tâm G của tam giác ABC là trung điểm của đoạn thẳng AH. Vậy AG = GH. Vì I là trung điểm của BC, nên AI = IC. Từ đó, ta có AI = IC = IG. Vậy tứ giác AIGC là hình bình hành. Do đó, AI song song và bằng một nửa đoạn thẳng GC. Vậy AI = 1/2GC. Mà GC = 2GH (vì G là trọng tâm của tam giác ABC). Vậy AI = GH. Như vậy, ta có AH = AG + GH = AI + GH = 2GH = 2OI. c, Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh G cũng là trọng tâm tam giác AHD: Ta đã chứng minh trong câu b rằng tứ giác AIGC là hình bình hành. Vậy đường thẳng AI đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Do đó, đường thẳng AI cắt đường cao BE tại một điểm K sao cho AK = 2KI. Vì I là trung điểm của BC, nên đường thẳng IK là đường phân giác của góc BIC. Vậy góc BIK = góc CIK. Như vậy, tam giác BIK và CIK là hai tam giác đồng dạng. Do đó, BK/CK = BI/CI = BA/CA. Vậy BK/CK = BA/CA. Từ đó, ta có BK/BA = CK/CA. Vậy đường thẳng BK cắt đường thẳng AC tại một điểm H sao cho BH/HA = CK/KA. Như vậy, ta có BH/HA = CK/KA = 1/2. Vậy điểm H là trung điểm của đoạn thẳng AH. Do đó, G cũng là trọng tâm của tam giác AHD.