Tìm GTNN:x^2+4y^2-4xy+2x-4y+5

Question

hanhan · Accepted Answer

Ta biến đổi:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
P=x^{2} +4y^{2} -4xy+2x-4y+5\
=( x-2y)^{2} +2( x-2y) +1+4\
=( x-2y+1)^{2} +4\geqslant 4\ với\ mọi\ x,y\
Dấu\ bằng\ xảy\ ra\ khi\ x-2y+1=0\
Vậy\ GTNN\ của\ biểu\ thức\ bằng\ 4
\end{array}$

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x^2 + 4y^2 - 4xy + 2x - 4y + 5, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức trên có thể viết lại thành:
(x^2 - 4xy + 4y^2) + (2x - 4y) + 5

Tiếp theo, ta nhận thấy rằng phần đầu tiên (x^2 - 4xy + 4y^2) có thể được viết lại thành (x - 2y)^2.

Vậy biểu thức ban đầu có thể được viết lại thành:
(x - 2y)^2 + (2x - 4y) + 5

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của từng thành phần.

- Đối với thành phần (x - 2y)^2, giá trị nhỏ nhất là 0 khi x = 2y.

- Đối với thành phần (2x - 4y), giá trị nhỏ nhất là -4 khi x = 2 và y = 1.

- Thành phần còn lại là 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu là 0 + (-4) + 5 = 1.

Vậy GTNN của biểu thức x^2 + 4y^2 - 4xy + 2x - 4y + 5 là 1.

Upgrade Titan Cinemaman · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x^2 + 4y^2 - 4xy + 2x - 4y + 5, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Biểu thức trên có thể viết lại thành:

(x^2 - 2xy + y^2) + (3y^2 - 4y) + (2x + 5)

Ta có thể nhận thấy rằng x^2 - 2xy + y^2 là một khối vuông hoàn chỉnh, có thể viết lại thành (x - y)^2.

Biểu thức trở thành:

(x - y)^2 + 3y^2 - 4y + 2x + 5

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của từng thành phần.

Đối với (x - y)^2, giá trị nhỏ nhất là 0 khi x = y.
Đối với 3y^2 - 4y, ta có thể sử dụng công thức tính đạo hàm để tìm điểm cực tiểu. Tính đạo hàm của biểu thức này theo y, ta được: 6y - 4. Đặt đạo hàm bằng 0 và giải phương trình, ta có y = 2/3. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là (3(2/3)^2 - 4(2/3)) = -4/3.
Đối với 2x + 5, giá trị nhỏ nhất xảy ra khi x = -5/2, và giá trị nhỏ nhất của biểu thức này là (-5/2)(2) + 5 = 0.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức x^2 + 4y^2 - 4xy + 2x - 4y + 5 là 0.

_emma_ 🌷 · Answer

Ta có thể biến đổi biểu thức x^2+4y^2-4xy+2x-4y+5 thành:

(x-2y)^2+2x-4y+5

Để tìm GTNN của biểu thức này, ta cần tìm GTNN của (x-2y)^2.

Biểu thức (x-2y)^2 có GTNN bằng 0 khi x = 2y.

Do đó, GTNN của x^2+4y^2-4xy+2x-4y+5 là:

(x-2y)^2+2x-4y+5 = 0 + 2x - 4y + 5 = 2x - 4y + 5

Vậy, GTNN của x^2+4y^2-4xy+2x-4y+5 là 2x - 4y + 5.

Để tìm giá trị cụ thể của GTNN, ta có thể chọn x = 1 và y = 1, ta được GTNN là 2 - 4 + 5 = 3.