Tìm GTNN:x^2+4y^2-4xy+2x-4y+5

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x^2 + 4y^2 - 4xy + 2x - 4y + 5, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Biểu thức trên có thể viết lại thành:

(x^2 - 2xy + y^2) + (3y^2 - 4y) + (2x + 5)

Ta có thể nhận thấy rằng x^2 - 2xy + y^2 là một khối vuông hoàn chỉnh, có thể viết lại thành (x - y)^2.

Biểu thức trở thành:

(x - y)^2 + 3y^2 - 4y + 2x + 5

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của từng thành phần.

• Đối với (x - y)^2, giá trị nhỏ nhất là 0 khi x = y.
• Đối với 3y^2 - 4y, ta có thể sử dụng công thức tính đạo hàm để tìm điểm cực tiểu. Tính đạo hàm của biểu thức này theo y, ta được: 6y - 4. Đặt đạo hàm bằng 0 và giải phương trình, ta có y = 2/3. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là (3(2/3)^2 - 4(2/3)) = -4/3.
• Đối với 2x + 5, giá trị nhỏ nhất xảy ra khi x = -5/2, và giá trị nhỏ nhất của biểu thức này là (-5/2)(2) + 5 = 0.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức x^2 + 4y^2 - 4xy + 2x - 4y + 5 là 0.