bất đẳng thức Cauchy-Schwars là gì ? cách chứng minh bất đẳng thức này ?

Bất đẳng thức Cauchy-Schwars. Cho các số thực $\displaystyle a_{1} ;a_{2} ;...a_{n}$ và $\displaystyle b_{1} ;b_{2} ;...b_{n} \ ( n\geqslant 2)$ khi đó ta có: $\displaystyle \left( a_{1}^{2} +a_{2}^{2} +...+a_{n}^{2}\right)\left( b_{1}^{2} +b_{2}^{2} +...+b_{n}^{2}\right) \geqslant ( a_{1} b_{1} +a_{2} b_{2} +...+a_{n} b_{n})^{2}$ Chứng minh BĐT: Nếu: $\displaystyle a_{1}^{2} +a_{2}^{2} +...+a_{n}^{2} =0$ thì BĐT đúng. Nếu $\displaystyle a_{1}^{2} +a_{2}^{2} +...+a_{n}^{2} >0$ xét: $\displaystyle f( x) =\left(\sum _{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right) x^{2} +2.\left(\sum _{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right) .x+\sum _{i=1}^{n} b_{i}^{2} =\sum _{i=1}^{n}( a_{i} +b_{i})^{2} \geqslant 0\ \forall x\in R.$ Do đó: $\displaystyle \Delta '=\left(\sum _{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2} -\left(\sum _{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right) \leqslant 0$ Cho nên: $\displaystyle \left( a_{1}^{2} +a_{2}^{2} +...+a_{n}^{2}\right)\left( b_{1}^{2} +b_{2}^{2} +...+b_{n}^{2}\right) \geqslant ( a_{1} b_{1} +a_{2} b_{2} +...+a_{n} b_{n})^{2}$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle \frac{a_{1}}{b_{1}} =\frac{a_{2}}{b_{2}} =...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$. Bất đẳng thức được chứng minh.