Chứng minh rằng: A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n là số chính phương (n lẻ).

Để chứng minh rằng A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n là số chính phương (với n là số lẻ), ta sẽ sử dụng phương pháp toán học gọi là phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ bản Khi n = 1, ta có A = 1. Và 1 là số chính phương. Bước 2: Giả sử đúng với n = k Giả sử A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) là số chính phương. Bước 3: Chứng minh đúng với n = k + 1 Ta cần chứng minh A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) cũng là số chính phương. Thay thế (2(k + 1) - 1) vào công thức A, ta có: A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = A + (2(k + 1) - 1) Khi đó, ta cần chứng minh rằng (2(k + 1) - 1) là số chính phương. Ta có: (2(k + 1) - 1) = 2k + 2 - 1 = 2k + 1 Vì k là số chẵn, nên ta có thể viết lại 2k = (2m)^2 với m là một số nguyên dương. (2k + 1) = (2m)^2 + 1 Ta biết rằng một số chính phương cộng với một số lẻ sẽ cho ra một số chính phương khác. Vì vậy, (2m)^2 + 1 không phải là số chính phương. Do đó, giả thiết ban đầu là sai và A không phải là số chính phương. Vậy, ta đã chứng minh rằng A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n không phải là số chính phương (với n là số lẻ).