Cho ΔABC cân tại A có góc A bằng 108* . Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực cạnh AB và AC. I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác. a) Tính số đo các góc B và góc C? b) Chứng minh...

a) Góc B và góc C trong tam giác cân ΔABC có số đo bằng nhau. Vì tam giác cân nên góc B và góc C là góc nhọn, tức là mỗi góc có số đo là 180° - 108° = 72°. b) Để chứng minh A, O, I thẳng hàng, ta sử dụng tính chất của đường trung trực và đường phân giác trong tam giác. - Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có BM = CM vì tam giác cân. - Gọi N là trung điểm của cạnh AC. Ta có AN = NC vì tam giác cân. - Gọi P là trung điểm của cạnh AB. Ta có AP = PB vì tam giác cân. - Gọi Q là giao điểm của đường phân giác trong tam giác tại I. Ta có AQ = CQ vì đường phân giác. - Gọi R là giao điểm của đường phân giác trong tam giác tại I. Ta có BR = CR vì đường phân giác. Do đó, ta có AM = BM = CM, AN = NC, AP = PB, AQ = CQ, BR = CR. Từ đó, ta có tam giác MNP và tam giác ABC là tam giác đồng dạng (tam giác cân và các cạnh tương ứng bằng nhau). Vì tam giác MNP và tam giác ABC đồng dạng, nên ta có góc MNP = góc BAC. Tương tự, ta có góc NMP = góc ABC và góc PMN = góc ACB. Vì góc BAC = 108°, nên góc MNP = 108°. Vì tam giác MNP là tam giác cân, nên góc MPN = (180° - 108°) / 2 = 36°. Vậy góc ABC = góc NMP = 36°. Do đó, ta có A, O, I thẳng hàng vì góc ABC = góc NMP. c) Để chứng minh BC là đường trung trực của đoạn thẳng OI, ta sử dụng tính chất của đường trung trực và đường phân giác trong tam giác. - Gọi D là giao điểm của đường trung trực của cạnh AB với đường phân giác trong tam giác. Ta có AD = DB vì đường trung trực. - Gọi E là giao điểm của đường trung trực của cạnh AC với đường phân giác trong tam giác. Ta có AE = EC vì đường trung trực. - Gọi F là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với đường phân giác trong tam giác. Ta có BF = FC vì đường trung trực. Do đó, ta có AD = DB, AE = EC, BF = FC. Từ đó, ta có tam giác DEF là tam giác đồng dạng với tam giác ABC (tam giác cân và các cạnh tương ứng bằng nhau). Vì tam giác DEF và tam giác ABC đồng dạng, nên ta có góc DEF = góc BAC. Vì góc BAC = 108°, nên góc DEF = 108°. Vì tam giác DEF là tam giác cân, nên góc DFE = (180° - 108°) / 2 = 36°. Vậy góc DFE = góc ABC = 36°. Do đó, ta có BC là đường trung trực của đoạn thẳng OI vì góc DFE = góc ABC.