giúp mih bài 12, 13 với ạ Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau,$A=2x^2+y^2-2xy-2x+3$ $B=x^2+2y^2-2xy-4y+5$,$C=2x^2+y^2+2xy-2x+2y+17$ $D=x^2+2y^2-2xy+2x-10y+23$,$E=2x^2+2y^2-2xy-4x-4y+2026$ $F=2x^2+2y^2+2xy-2x+2y+1988$,Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau,$A=2x^2+4y^2+4xy-4x+3$ $B=x^2+xy+y^2-3x-3y$ $C=2x^2-2xy+3$,Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:,$A=2x^2+3y^2+4xy-8x-2y+18$ $B=2x^2+3y^2+4z^2-2(x+y+z)+2$,Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:,$G(x)=2x^2+2y^2+z^2+2xy-2xz-2yz-2x-4y$,Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:,$A=-4x^2-5y^2+8xy+10y+12$ $B=-x^2-y^2+xy+y+2x$,$C=-x^2-2y^2-4z^2+x+y+z$ $D=-x^2-y^2+4x-10y+2025$,Bài tập về nhà,Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau,$A=x^2-2xy+2y^2+2x-10y+34$ $B=x^2-xy+y^2-2x-2y+26$,$C=x^2+xy+y^2-3x-3y$ $D=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45$,Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

Question

Accepted Answer

Bài 9:
A. Ta có $A=2x^2+y^2-2xy-2x+3$
$=x^2+(x^2-2xy+y^2)-2x+3$
$=x^2+(x-y)^2-2x+3$
$=(x^2-2x+1)+(x-y)^2+2$
$=(x-1)^2+(x-y)^2+2\geq 2$
Giá trị nhỏ nhất của $A$ là 2, đạt được khi $x-1=0$ và $x-y=0$ hoặc $x=y=1$

B. Ta có $B=x^2+2y^2-2xy-4y+5$
$=(x^2-2xy+y^2)+y^2-4y+5$
$=(x-y)^2+y^2-4y+5$
$=(x-y)^2+(y^2-4y+4)+1$
$=(x-y)^2+(y-2)^2+1\geq 1$
Giá trị nhỏ nhất của $B$ là 1, đạt được khi $x-y=0$ và $y-2=0$ hoặc $x=y=2$

C. Ta có $C=2x^2+y^2+2xy-2x+2y+17$
$=(x^2+2xy+y^2)+x^2-2x+2y+17$
$=(x+y)^2+x^2-2x+2y+17$
$=(x+y)^2+(x^2-2x+1)+2y+16$
$=(x+y)^2+(x-1)^2+2(y+8)\geq 2(y+8)$
Giá trị nhỏ nhất của $C$ là $2(y+8)$, đạt được khi $x+y=0$ và $x-1=0$ hoặc $x=1$ và $y=-1$

D. Ta có $D=x^2+2y^2-2xy+2x-10y+23$
$=(x^2-2xy+y^2)+y^2+2x-10y+23$
$=(x-y)^2+y^2+2x-10y+23$
$=(x-y)^2+(y^2-10y+25)+2x-2$
$=(x-y)^2+(y-5)^2+2(x-1)\geq 2(x-1)$
Giá trị nhỏ nhất của $D$ là $2(x-1)$, đạt được khi $x-y=0$ và $y-5=0$ hoặc $x=y=5$

E. Ta có $E=2x^2+2y^2-2xy-4x-4y+2026$
$=(x^2-2xy+y^2)+x^2+2y^2-4x-4y+2026$
$=(x-y)^2+x^2+2y^2-4x-4y+2026$
$=(x-y)^2+(x^2-4x+4)+2y^2-4y+2022$
$=(x-y)^2+(x-2)^2+2(y^2-2y+1)+2020$
$=(x-y)^2+(x-2)^2+2(y-1)^2+2020\geq 2020$
Giá trị nhỏ nhất của $E$ là 2020, đạt được khi $x-y=0$, $x-2=0$ và $y-1=0$ hoặc $x=y=2$

F. Ta có $F=2x^2+2y^2+2xy-2x+2y+1988$
$=(x^2+2xy+y^2)+x^2+2y^2-2x+2y+1988$
$=(x+y)^2+x^2+2y^2-2x+2y+1988$
$=(x+y)^2+(x^2-2x+1)+2y^2+2y+1987$
$=(x+y)^2+(x-1)^2+2(y^2+y+\frac{1}{4})+1986\frac{1}{2}$
$=(x+y)^2+(x-1)^2+2(y+\frac{1}{2})^2+1986\frac{1}{2}\geq 1986\frac{1}{2}$
Giá trị nhỏ nhất của $F$ là $1986\frac{1}{2}$, đạt được khi $x+y=0$, $x-1=0$ và $y+\frac{1}{2}=0$ hoặc $x=1$ và $y=-\frac{1}{2}$

Bài 10:
A = 2x² + 4y² + 4xy - 4x + 3
= x² + 4y² + 4xy - 4x + 3 + x²
= (x + 2y)² - 4x + 3 + x²
= (x + 2y)² - 4(x - $\frac{x²}{4}$) + 3
= (x + 2y)² - 4($\frac{x²}{4}$ - x + 1) + 3 + 4
= (x + 2y)² - 4($\frac{x²}{4}$ - x + 1) + 7
= (x + 2y)² - ($\frac{x}{2}$ - 2)² + 7

Biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất khi (x + 2y)² = 0 và ($\frac{x}{2}$ - 2)² = 0
suy ra x + 2y = 0 và $\frac{x}{2}$ - 2 = 0
suy ra y = -$\frac{x}{2}$ và x = 4
suy ra y = -2

Thay x = 4 và y = -2 vào biểu thức A ta được:
A = 2(4)² + 4(-2)² + 4(4)(-2) - 4(4) + 3
= 2(16) + 4(4) - 32 - 16 + 3
= 32 + 16 - 32 - 16 + 3
= 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3, đạt được khi x = 4 và y = -2.

B = x² + xy + y² - 3x - 3y
= x² - 3x + xy + y² - 3y
= x(x - 3) + y(x + y - 3)
= x(x - 3) + y(x - 3 + 2y)
= (x - 3)(x + y) + 2y²

Biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất khi (x - 3)(x + y) = 0 và 2y² = 0
suy ra x - 3 = 0 hoặc x + y = 0 và y = 0
suy ra x = 3 hoặc x = -y và y = 0
suy ra x = 3 hoặc x = 0 và y = 0

Thay x = 3 và y = 0 vào biểu thức B ta được:
B = (3)² + (3)(0) + (0)² - 3(3) - 3(0)
= 9 + 0 + 0 - 9 - 0
= 0

Thay x = 0 và y = 0 vào biểu thức B ta được:
B = (0)² + (0)(0) + (0)² - 3(0) - 3(0)
= 0 + 0 + 0 - 0 - 0
= 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 0, đạt được khi x = 3 và y = 0 hoặc x = 0 và y = 0.

C = 2x² - 2xy + 3
= 2(x² - xy) + 3
= 2(x² - xy + $\frac{y²}{4}$) - $\frac{y²}{2}$ + 3
= 2(x - $\frac{y}{2}$)² - $\frac{y²}{2}$ + 3

Biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất khi (x - $\frac{y}{2}$)² = 0 và $\frac{y²}{2}$ = 0
suy ra x - $\frac{y}{2}$ = 0 và y = 0
suy ra x = $\frac{y}{2}$ và y = 0
suy ra x = 0

Thay x = 0 và y = 0 vào biểu thức C ta được:
C = 2(0)² - 2(0)(0) + 3
= 0 - 0 + 3
= 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 3, đạt được khi x = 0 và y = 0.

Bài 11:
Câu hỏi:
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 
$$ A = 2x^2 + 3y^2 + 4xy - 8x - 2y + 18 $$
$$ B = 2x^2 + 3y^2 + 4z^2 - 2(x + y + z) + 2 $$

Giải biểu thức $ A $:

Ta sẽ nhóm các hạng tử để biến đổi biểu thức $ A $ thành dạng tổng bình phương.

$$ A = 2x^2 + 3y^2 + 4xy - 8x - 2y + 18 $$

Nhóm các hạng tử liên quan đến $ x $ và $ y $:

$$ A = 2(x^2 + 2xy) + 3y^2 - 8x - 2y + 18 $$

Viết lại $ x^2 + 2xy $ dưới dạng bình phương:

$$ x^2 + 2xy = (x + y)^2 - y^2 $$

Thay vào biểu thức $ A $:

$$ A = 2[(x + y)^2 - y^2] + 3y^2 - 8x - 2y + 18 $$
$$ A = 2(x + y)^2 - 2y^2 + 3y^2 - 8x - 2y + 18 $$
$$ A = 2(x + y)^2 + y^2 - 8x - 2y + 18 $$

Tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến $ x $ và $ y $:

$$ A = 2(x + y)^2 + y^2 - 8x - 2y + 18 $$

Viết lại $ -8x - 2y $ dưới dạng bình phương:

$$ -8x - 2y = -8(x + \frac{1}{4}y) $$

Thay vào biểu thức $ A $:

$$ A = 2(x + y)^2 + y^2 - 8(x + \frac{1}{4}y) + 18 $$

Viết lại $ y^2 - 8(x + \frac{1}{4}y) $ dưới dạng bình phương:

$$ y^2 - 8(x + \frac{1}{4}y) = (y - 4)^2 - 16 $$

Thay vào biểu thức $ A $:

$$ A = 2(x + y)^2 + (y - 4)^2 - 16 + 18 $$
$$ A = 2(x + y)^2 + (y - 4)^2 + 2 $$

Do $ 2(x + y)^2 \geq 0 $ và $ (y - 4)^2 \geq 0 $, nên:

$$ A \geq 2 $$

Dấu "=" xảy ra khi $ x + y = 0 $ và $ y = 4 $, tức là $ x = -4 $ và $ y = 4 $.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ A $ là 2, đạt được khi $ x = -4 $ và $ y = 4 $.

Giải biểu thức $ B $:

Ta sẽ nhóm các hạng tử để biến đổi biểu thức $ B $ thành dạng tổng bình phương.

$$ B = 2x^2 + 3y^2 + 4z^2 - 2(x + y + z) + 2 $$

Nhóm các hạng tử liên quan đến $ x $, $ y $ và $ z $:

$$ B = 2x^2 + 3y^2 + 4z^2 - 2x - 2y - 2z + 2 $$

Viết lại $ 2x^2 - 2x $, $ 3y^2 - 2y $ và $ 4z^2 - 2z $ dưới dạng bình phương:

$$ 2x^2 - 2x = 2(x^2 - x) = 2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) $$
$$ 3y^2 - 2y = 3(y^2 - \frac{2}{3}y) = 3((y - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}) $$
$$ 4z^2 - 2z = 4(z^2 - \frac{1}{2}z) = 4((z - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) $$

Thay vào biểu thức $ B $:

$$ B = 2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 3((y - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}) + 4((z - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) + 2 $$
$$ B = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 3(y - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 4(z - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 2 $$
$$ B = 2(x - \frac{1}{2})^2 + 3(y - \frac{1}{3})^2 + 4(z - \frac{1}{4})^2 + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $$
$$ B = 2(x - \frac{1}{2})^2 + 3(y - \frac{1}{3})^2 + 4(z - \frac{1}{4})^2 + \frac{11}{12} $$

Do $ 2(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0 $, $ 3(y - \frac{1}{3})^2 \geq 0 $ và $ 4(z - \frac{1}{4})^2 \geq 0 $, nên:

$$ B \geq \frac{11}{12} $$

Dấu "=" xảy ra khi $ x = \frac{1}{2} $, $ y = \frac{1}{3} $ và $ z = \frac{1}{4} $.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ B $ là $\frac{11}{12}$, đạt được khi $ x = \frac{1}{2} $, $ y = \frac{1}{3} $ và $ z = \frac{1}{4} $.

Bài 12:
Ta có $ G(x) = 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz - 2x - 4y $

$ = x^2 + x^2 + y^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz - 2x - 4y $

$ = (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz) + (x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) $

$ = (x + y - z)^2 + (x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) $

$ = (x + y - z)^2 + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) - 1 - 4 $

$ = (x + y - z)^2 + (x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 5 $

Vì $ (x + y - z)^2 \geq 0 $; $ (x - 1)^2 \geq 0 $; $ (y - 2)^2 \geq 0 $

Nên $ (x + y - z)^2 + (x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 5 \geq -5 $

Dấu “=” xảy ra khi $ x + y - z = 0 $; $ x - 1 = 0 $; $ y - 2 = 0 $

Hay $ x = 1 $; $ y = 2 $; $ z = 3 $

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ G(x) $ là -5, đạt được khi $ x = 1 $; $ y = 2 $; $ z = 3 $

Bài 13:
Để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương hoặc biến đổi biểu thức về dạng tổng của các bình phương âm.

Biểu thức A: $ A = -4x^2 - 5y^2 + 8xy + 10y + 12 $

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$:
$$ A = -4x^2 + 8xy - 5y^2 + 10y + 12 $$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng:
$$ A = -(4x^2 - 8xy + 5y^2) + 10y + 12 $$

Ta hoàn chỉnh bình phương cho phần $4x^2 - 8xy + 5y^2$:
$$ 4x^2 - 8xy + 5y^2 = (2x - 2y)^2 + y^2 $$

Do đó:
$$ A = -[(2x - 2y)^2 + y^2] + 10y + 12 $$
$$ A = -(2x - 2y)^2 - y^2 + 10y + 12 $$

Biểu thức $-(2x - 2y)^2$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, và $-y^2 + 10y + 12$ đạt giá trị lớn nhất khi $y = 5$:
$$ -y^2 + 10y + 12 = -(5)^2 + 10(5) + 12 = -25 + 50 + 12 = 37 $$

Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là 37, đạt được khi $x = 5$ và $y = 5$.

Biểu thức B: $ B = -x^2 - y^2 + xy + y + 2x $

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$:
$$ B = -x^2 + xy + 2x - y^2 + y $$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng:
$$ B = -(x^2 - xy - 2x) - y^2 + y $$

Ta hoàn chỉnh bình phương cho phần $x^2 - xy - 2x$:
$$ x^2 - xy - 2x = (x - \frac{y}{2} - 1)^2 - (\frac{y}{2} + 1)^2 $$

Do đó:
$$ B = -[(x - \frac{y}{2} - 1)^2 - (\frac{y}{2} + 1)^2] - y^2 + y $$
$$ B = -(x - \frac{y}{2} - 1)^2 + (\frac{y}{2} + 1)^2 - y^2 + y $$

Biểu thức $-(x - \frac{y}{2} - 1)^2$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, và $(\frac{y}{2} + 1)^2 - y^2 + y$ đạt giá trị lớn nhất khi $y = 2$:
$$ (\frac{y}{2} + 1)^2 - y^2 + y = (\frac{2}{2} + 1)^2 - (2)^2 + 2 = (1 + 1)^2 - 4 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 $$

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là 2, đạt được khi $x = 2$ và $y = 2$.

Biểu thức C: $ C = -x^2 - 2y^2 - 4z^2 + x + y + z $

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$ và $z$:
$$ C = -x^2 + x - 2y^2 + y - 4z^2 + z $$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng:
$$ C = -(x^2 - x) - 2(y^2 - \frac{y}{2}) - 4(z^2 - \frac{z}{4}) $$

Ta hoàn chỉnh bình phương cho phần $x^2 - x$, $y^2 - \frac{y}{2}$ và $z^2 - \frac{z}{4}$:
$$ x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} $$
$$ y^2 - \frac{y}{2} = (y - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} $$
$$ z^2 - \frac{z}{4} = (z - \frac{1}{8})^2 - \frac{1}{64} $$

Do đó:
$$ C = -[(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] - 2[(y - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}] - 4[(z - \frac{1}{8})^2 - \frac{1}{64}] $$
$$ C = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} - 2(y - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} - 4(z - \frac{1}{8})^2 + \frac{1}{16} $$

Biểu thức $-(x - \frac{1}{2})^2$, $-2(y - \frac{1}{4})^2$ và $-4(z - \frac{1}{8})^2$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, và $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{4}$ và $z = \frac{1}{8}$:
$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16} $$

Vậy giá trị lớn nhất của $C$ là $\frac{7}{16}$, đạt được khi $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{4}$ và $z = \frac{1}{8}$.

Biểu thức D: $ D = -x^2 - y^2 + 4x - 10y + 2025 $

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$:
$$ D = -x^2 + 4x - y^2 - 10y + 2025 $$

Ta viết lại biểu thức dưới dạng:
$$ D = -(x^2 - 4x) - (y^2 + 10y) + 2025 $$

Ta hoàn chỉnh bình phương cho phần $x^2 - 4x$ và $y^2 + 10y$:
$$ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 $$
$$ y^2 + 10y = (y + 5)^2 - 25 $$

Do đó:
$$ D = -[(x - 2)^2 - 4] - [(y + 5)^2 - 25] + 2025 $$
$$ D = -(x - 2)^2 + 4 - (y + 5)^2 + 25 + 2025 $$

Biểu thức $-(x - 2)^2$ và $-(y + 5)^2$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, và $4 + 25 + 2025$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = 2$ và $y = -5$:
$$ 4 + 25 + 2025 = 2054 $$

Vậy giá trị lớn nhất của $D$ là 2054, đạt được khi $x = 2$ và $y = -5$.

Bài 14:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức trên, chúng ta sẽ biến đổi từng biểu thức một cách riêng lẻ.

Biểu thức A: $A = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 10y + 34$

Ta nhóm lại theo các hạng tử liên quan đến x và y:
$$A = (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 2x - 10y + 34)$$

Nhận thấy rằng $x^2 - 2xy + y^2$ là dạng bình phương của $(x - y)^2$:
$$A = (x - y)^2 + y^2 + 2x - 10y + 34$$

Tiếp tục biến đổi phần còn lại:
$$A = (x - y)^2 + (y^2 - 10y + 25) + 2x + 9$$
$$A = (x - y)^2 + (y - 5)^2 + 2x + 9$$

Do $(x - y)^2 \geq 0$ và $(y - 5)^2 \geq 0$, nên giá trị nhỏ nhất của A xảy ra khi cả hai biểu thức này đều bằng 0:
$$x - y = 0 \quad \text{và} \quad y - 5 = 0$$
$$x = y \quad \text{và} \quad y = 5$$
$$x = 5$$

Thay $x = 5$ và $y = 5$ vào A:
$$A = (5 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + 2(5) + 9 = 0 + 0 + 10 + 9 = 19$$

Giá trị nhỏ nhất của $A$ là 19, đạt được khi $x = 5$ và $y = 5$.

Biểu thức B: $B = x^2 - xy + y^2 - 2x - 2y + 26$

Ta nhóm lại theo các hạng tử liên quan đến x và y:
$$B = (x^2 - xy + y^2) - 2x - 2y + 26$$

Nhận thấy rằng $x^2 - xy + y^2$ là dạng bình phương của $(x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}$:
$$B = (x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} - 2x - 2y + 26$$

Tiếp tục biến đổi phần còn lại:
$$B = (x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} - 2(x + y) + 26$$

Do $(x - \frac{y}{2})^2 \geq 0$ và $\frac{3y^2}{4} \geq 0$, nên giá trị nhỏ nhất của B xảy ra khi cả hai biểu thức này đều bằng 0:
$$x - \frac{y}{2} = 0 \quad \text{và} \quad y = 0$$
$$x = \frac{y}{2} \quad \text{và} \quad y = 0$$
$$x = 0$$

Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào B:
$$B = (0 - 0)^2 + \frac{3(0)^2}{4} - 2(0) - 2(0) + 26 = 0 + 0 - 0 - 0 + 26 = 26$$

Giá trị nhỏ nhất của $B$ là 26, đạt được khi $x = 0$ và $y = 0$.

Biểu thức C: $C = x^2 + xy + y^2 - 3x - 3y$

Ta nhóm lại theo các hạng tử liên quan đến x và y:
$$C = (x^2 + xy + y^2) - 3x - 3y$$

Nhận thấy rằng $x^2 + xy + y^2$ là dạng bình phương của $(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}$:
$$C = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} - 3x - 3y$$

Tiếp tục biến đổi phần còn lại:
$$C = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} - 3(x + y)$$

Do $(x + \frac{y}{2})^2 \geq 0$ và $\frac{3y^2}{4} \geq 0$, nên giá trị nhỏ nhất của C xảy ra khi cả hai biểu thức này đều bằng 0:
$$x + \frac{y}{2} = 0 \quad \text{và} \quad y = 0$$
$$x = -\frac{y}{2} \quad \text{và} \quad y = 0$$
$$x = 0$$

Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào C:
$$C = (0 + 0)^2 + \frac{3(0)^2}{4} - 3(0) - 3(0) = 0 + 0 - 0 - 0 = 0$$

Giá trị nhỏ nhất của $C$ là 0, đạt được khi $x = 0$ và $y = 0$.

Biểu thức D: $D = x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 45$

Ta nhóm lại theo các hạng tử liên quan đến x và y:
$$D = (x^2 - 2xy + y^2) + 5y^2 - 12x + 2y + 45$$

Nhận thấy rằng $x^2 - 2xy + y^2$ là dạng bình phương của $(x - y)^2$:
$$D = (x - y)^2 + 5y^2 - 12x + 2y + 45$$

Tiếp tục biến đổi phần còn lại:
$$D = (x - y)^2 + 5(y^2 - \frac{12}{5}x + \frac{2}{5}y) + 45$$

Do $(x - y)^2 \geq 0$ và $5y^2 \geq 0$, nên giá trị nhỏ nhất của D xảy ra khi cả hai biểu thức này đều bằng 0:
$$x - y = 0 \quad \text{và} \quad y = 0$$
$$x = y \quad \text{và} \quad y = 0$$
$$x = 0$$

Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào D:
$$D = (0 - 0)^2 + 5(0)^2 - 12(0) + 2(0) + 45 = 0 + 0 - 0 + 0 + 45 = 45$$

Giá trị nhỏ nhất của $D$ là 45, đạt được khi $x = 0$ và $y = 0$.

Bài 15:
Giả sử biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất là $A = -x^2 + 6x - 5$.

Bước 1: Ta viết lại biểu thức dưới dạng $A = -(x^2 - 6x + 5)$.

Bước 2: Ta hoàn thiện bình phương trong ngoặc:
$$x^2 - 6x + 5 = x^2 - 6x + 9 - 4 = (x - 3)^2 - 4.$$

Bước 3: Thay vào biểu thức $A$:
$$A = -((x - 3)^2 - 4) = - (x - 3)^2 + 4.$$

Bước 4: Vì $(x - 3)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên $- (x - 3)^2 \leq 0$ với mọi $x$.

Bước 5: Do đó, $A = - (x - 3)^2 + 4 \leq 4$ với mọi $x$.

Bước 6: Giá trị lớn nhất của $A$ là 4, đạt được khi $(x - 3)^2 = 0$, tức là $x = 3$.

Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là 4, đạt được khi $x = 3$.