Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 10 và tổng bình phương của chúng bằng 30

Question

CoCoChue · Accepted Answer

Giả sử bốn số hạng đó là: $\displaystyle a-3x;a-x;a+x;a+3x$ với công sai là: $\displaystyle d=2x$. Khi đó, ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\begin{cases}
( a-3x) +( a-x) +( a+x) +( a+3x) =10 & \
( a-3x)^{2} +( a-x)^{2} +( a+x)^{2} +( a+3x)^{2} =30 &
\end{cases}\
\Leftrightarrow \begin{cases}
4a=10 & \
4a^{2} +20x^{2} =30 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
a=\frac{5}{2} & \
x=\pm \frac{1}{2} &
\end{cases}
\end{array}$
Trường hợp 1: $\displaystyle a=\frac{5}{2} ;x=\frac{-1}{2}$. Ta có:
$\displaystyle \begin{cases}
a-3x=\frac{5}{2} -3\left( -\frac{1}{2} ight) =4\
a-x=\frac{5}{2} -\left( -\frac{1}{2} ight) =3\
a+x=\frac{5}{2} +\left( -\frac{1}{2} ight) =2\
a+3x=\frac{5}{2} +3\left( -\frac{1}{2} ight) =1
\end{cases}$

Ta có: bốn số hạng cần tìm là: $\displaystyle 4;3;2;1$.
Trường hợp 2: $\displaystyle a=\frac{5}{2} ;x=\frac{1}{2}$. Ta có:
$\displaystyle \begin{cases}
a-3x=\frac{5}{2} -3\left(\frac{1}{2} ight) =1\
a-x=\frac{5}{2} -\left(\frac{1}{2} ight) =2\
a+x=\frac{5}{2} +\left(\frac{1}{2} ight) =3\
a+3x=\frac{5}{2} +3\left(\frac{1}{2} ight) =4
\end{cases}$

Ta có: bốn số hạng cần tìm là: $\displaystyle 1;2;3;4$.

Kết luận: bốn số hạng cần tìm là: $\displaystyle 1;2;3;4$.

Timi · Answer

Giả sử 4 số hạng liên tiếp của cấp số cộng là: a-3d, a-d, a+d, a+3d.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

a-3d + a-d + a+d + a+3d = 10
(a-3d)^2 + (a-d)^2 + (a+d)^2 + (a+3d)^2 = 30

Từ phương trình thứ nhất, ta có: 4a = 10 => a = 2.5

Thay a = 2.5 vào phương trình thứ hai, ta được:

(2.5-3d)^2 + (2.5-d)^2 + (2.5+d)^2 + (2.5+3d)^2 = 30

Giải phương trình trên ta được: d = 0.5 hoặc d = -0.5

Vậy, ta có 2 dãy số thỏa mãn đề bài:

Nếu d = 0.5 thì dãy số là: 1, 2, 3, 4
Nếu d = -0.5 thì dãy số là: 4, 3, 2, 1

NT · Answer

Gọi a là số hạng đầu tiên của cấp số cộng và d là công sai của cấp số cộng.

Ta có hệ phương trình:

a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 10 (1)

a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 + (a + 3d)^2 = 30 (2)

Giải hệ phương trình này, ta có:

Từ (1), ta có: 4a + 6d = 10

=> 2a + 3d = 5 (3)

Từ (2), ta có: 4a^2 + 14ad + 14d^2 = 30

=> 2a^2 + 7ad + 7d^2 = 15 (4)

Từ (3), ta có: 2a = 5 - 3d

=> a = (5 - 3d)/2

Thay a vào (4), ta có: 2((5 - 3d)/2)^2 + 7(5 - 3d)d + 7d^2 = 15

=> (5 - 3d)^2 + 7(5 - 3d)d + 7d^2 = 15

=> 25 - 30d + 9d^2 + 35d - 21d^2 + 7d^2 = 15

=> -5d^2 + 5d + 10 = 0

=> d^2 - d - 2 = 0

=> (d - 2)(d + 1) = 0

Vậy, ta có hai giá trị của d: d = 2 hoặc d = -1.

Khi d = 2:
Thay d = 2 vào (3), ta có: 2a + 3(2) = 5
=> 2a + 6 = 5
=> 2a = -1
=> a = -1/2

Vậy, 4 số hạng liên tiếp của cấp số cộng là: -1/2, 1/2, 3/2, 5/2.

Khi d = -1:
Thay d = -1 vào (3), ta có: 2a + 3(-1) = 5
=> 2a - 3 = 5
=> 2a = 8
=> a = 4

Vậy, 4 số hạng liên tiếp của cấp số cộng là: 4, 3, 2, 1.

Tóm lại, có hai dãy số hạng thỏa mãn yêu cầu: -1/2, 1/2, 3/2, 5/2 và 4, 3, 2, 1.