Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy+yz+zx= xyz+2

Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử x≥y≥z $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \Rightarrow xy+yz+zx\leq 3xy\\ \Rightarrow xyz+2\leq 3xy\\ \Rightarrow xy( 3−z) \geq 2 >0\\ \Rightarrow 3−z >0\Rightarrow z< 3\\ \Rightarrow z=\{1;2\} \end{array}$ 

TH1:

 $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} z=1\Rightarrow xy+x+y=xy+2\\ \Leftrightarrow x+y=2\Rightarrow x=y=1\\ \Rightarrow ( x;y;z) =( 1;1;1) \end{array}$

 TH2:

 $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} z=2\Rightarrow xy+2x+2y=2xy+2\\ \Rightarrow xy−2x−2y+2=0\\ \Rightarrow xy−2x−2y+4=2\\ \Rightarrow x( y−2) −2( y−2) =2\\ \Rightarrow ( x−2)( y−2) =2\ ( pt\ ước\ số\ cơ\ bản)\\ \Rightarrow x=4;y=3\Rightarrow ( x;y;z) =( 4;3;2) \end{array}$ 

Vậy nghiệm của pt đã cho là: (x;y;z)=(1;1;1);(4;3;2) và các hoán vị của chúng